2019年波兰高中数学奥林匹克第二轮竞赛试题（pdf版，无答案）

2019-2020 波兰数学奥林匹克 第二轮 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源：www.artofproblemsolving.com/community/c1069465 第一天 1. 若两两不同的实数 a,b,c,d 满足 2 2 2 2 2 2( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( )a b a b b c b c c d c d           求证 0a b c d    . 2. 已知 n 为正整数. 智多星将 1 到 2n－1 的所有整数写在 黑板上 , 其中有的为红色 , 有的为蓝色 . 对整数对 i≤ j, , {1,2,...2 1}i j n  , 当且仅当 , 1,...i i j 中有奇数个蓝色的数 时, 称 i,j 是一组好对子. 那么, 智多星至多可以写出多少组 好对子呢?请用 n 表示. 3.锐角△ABC 中, M 为边 BC 中点. △ABM 内切圆与边 AB 切 一点 D, △ACM 内切圆与边 AC 切于点 E. 若四边形 DMEF 为平行四边形, 求证 F 在∠BAC 的平分线上. 第二天 4.凸六边形 ABCDEF 中, AB=CD=EF, BC=DE=AF. 证明: 若∠FAB+∠ABC=∠FAB+∠EFA=240°,则∠FAB+∠ CDE=240°. 5.设素数 p＞2, S为 p+1个整数组成的集合. 试证明: 存在互 异的整数 1 2 1, , ... pa a a S  , 使得 1 2 3 12 3 ... ( 1) pa a a p a      能被 p 整除. 6.非负实数列 0 1 2, , ...a a a 与 0 1 2, , ...b b b 满足, 对任意整数 1i  , 有 2 21 1 1 1,i i i i i ia a a b b b     成立. 数列 0 1 2, , ...c c c 定义如下: 0 0 0 0 , n i n n i n i i c a b c C a b     . 求证: 对任意整数 2 1 11, i i ik c c c   . $$