人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1.2复数的概念-教案

3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的概念 【提出问题】 我们知道，方程2x+1=0在自然数系范围内没有解。当我们把数的范围扩充到有理数系以后，方程2x+1=0在有理数范围内，恰有一个解：x=. 方程x2-3=0在有理数系范围内没有解。当我们把数的范围扩充到实数系以后，方程x2-3=0在实数范围内，恰有两个解：x=. 同学们在解一元二次方程的时候会遇到判别式小于零的情况，这时在实数范围内方程无解，其根本原因是任何实数的平方都不可能是负数，这样一元二次方程有的有两个实数解，有的没有实数解。 如此看来，在实数范围内方程解的个数与方程次数的关系并不确定，一个自然的想法是：把实数系扩大，能否使二次方程都有两个解，三次方程都有三个解……。 【解决问题】 为了解决这个问题，人们引进了一个新数，当时人们认为这个新数是一个虚幻的数，便以 “虚数”命名，并以英文字母的字首i表示，虚数i满足i2=-1。引进了虚数i以后一元二次方程总有两个根： 当时， 当时， 以上方程的根可以统一表示为a+bi（a，b为实数）的形式，由此引出复数的概念，复数的引进实现了人们的一个理想：复系数的一元n次方程，在复数范围内恰有n个根。 【获得新知】 设a，b都是实数，形如 a+bi（a，b∈R） 的数叫做复数，通常用小写字母z表示，即z=a+bi （a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称为虚数单位。 显然当b=0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b≠0时a+bi叫做虚数，而当b≠0且a=0时，bi叫做纯虚数。 全体复数所构成的集合叫做复数集，也称复数系。复数集通常用大写字母C表示。即 C={z|z= a+bi（a，b∈R）} 显然，实数集R是复数集C的真子集. 因此，复数z=a+bi （a，b∈R）可以这样分类： 复数z 由此可见，复数集是实数集的扩充。 若两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等． 记作a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则a＝c且b＝d. 特别地a＋bi＝0，则a＝b＝0. 【概念领悟】 ①根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di. ②若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数(即虚部均为0)． ③若两个复数不全是实数，则不