人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1.3复数的几何意义-教案

3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.3 复数的几何意义 【提出问题】 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。 我们知道，z=a+bi （a，b∈R）这种代数形式表示复数。 那么，从几何的角度怎样表示复数呢？ 【解决问题】 根据复数相等的定义，复数z=a+bi被一个有序实数对（a，b）所唯一确定，而每一个有序实数对（a，b），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z（a，b）（或一个向量）。这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对。 【获得新知】 这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi和点Z（a，b）（或向量）之间的一一对应关系。点Z（a，b）或向量是复数z的几何表示（图一）。 图一 复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b） 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）对应复数0。 设复数z=a+bi （a，b∈R）对应的向量为，则向量的长度叫做复数a+bi的模（或绝对值），记作 |a+bi|， 如果b=0，则|a+bi|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。 由向量长度的计算公式， |a+bi|=. 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。 复数z的共轭复数表示。当z=a+bi时，则=a-bi。 当复数z=a+bi的虚部b=0时有z=。也就是说，任意实数的共轭复数仍是它本身。 【概念领悟】 ①实轴上的点都表示实数。 ②除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数。 ③任意一个实数a与x轴上的点（a，0）一一对应，任意一个纯虚数bi（b≠0）与y轴上的点（0，b）一一对应. ④在复平面内表示两个共轭复数的点，关于实轴对称，并且他们的模相等 【经典例题】 例1　若复数z＝（a2－4a+3）＋(a2-7a＋10)i(a∈R)在复平面内表示的点位于第三象限，求实数a的范围． 解：因为复数z表示的点位于复平面的第三象限 所以 解得2<a<3， 【规律技巧】根据复数z＝a＋bi满足的条件，把问题归结