专题03 二项式定理-【考点揭秘】2020年高考数学（理）之计数原理、概率统计

计数原理 03 二项式定理 【考点讲解】 一、具体目标：二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中的第n项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 二、知识概述： 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n}) 2.二项式系数的性质 (1)C＝1，C＝1. C＝C＋C. (2)C＝C. (3)n是偶数时，项的二项式系数最大；n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大． (4)C＋C＋C＋…＋C＝2n. 3.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C. 4.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r， 如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项. 5.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 6.解题技巧与方法总结 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 7.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项． 【温馨提示】二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 8. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 【真题分析】 1.【2019全国III理4】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．【2017新课标Ⅰ】展开式中的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 3．【2017新课标Ⅲ】的展开式中的系数为（ ） A．80 B．40 C．40 D．80 4．【2016年四川】设为虚数单位，则的展开式中含的项为（ ） A．－15 B．15 C．－20 D．20 5.【2015全国1理10】的展开式中，的系数为（ ）. A．10 B．20 C．30 D．60 6.【2015湖北理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项 的二项式系数和为（ ）． A． B． C． D． 7.【 2019浙江13】在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的 项的个数是_______. 8.（2019天津理10）是展开式中的常数项为 . 9．【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 10．(2018浙江)二项式的展开式的常数项是___________． 11.【2017浙江】已知多项式=，则=___，=___． 12．（2017山东）已知的展开式中含有项的系数是，则 ． 13．【2015新课标2】 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32， 则=______．[来源:学科网ZXXK] 14.【2014山东】若的展开式中