专题06 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-【考点揭秘】2020年高考数学（理）之计数原理、概率统计

概率统计 06 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 【考点讲解】 1、 具体目标：理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题. 二、知识概述： 1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母ξ、η等表示． 2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量． 4．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列． 5．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴ ⑵． 6．独立重复试验：在同样的条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，每一次试验只有发生与不发 生的结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.如果在一次试验 中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：． 7．常见离散型随机变量的分布列 ⑴两点分布： X 0 1 P 1-P P ⑵二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．称随机变量ξ服从二项分布． 记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)． ⑶超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，． 称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列， 称X服从超几何分布． 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. … … P … … 有性质①； ②. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P [来源:学科网ZXXK] … … 则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量的数学期望： ①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ξ 0 1 P q p ⑵单点分布：其分布列为：. ⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） ⑸几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称 为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. ⑴随机变量的方差.（a、b均为常数） ξ 0 1 P q p ⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布： 5. 期望与方差的关系. ⑴如果和都存在，则 ⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）. 【温馨提示】离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应