专题07 二项分布、正态分布-【考点揭秘】2020年高考数学（理）之计数原理、概率统计

概率统计 07 二项分布、正态分布 【考点讲解】 一、具体目标：1.了解超二项分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 3. 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 二、知识概述： 1.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记. ⑵二项分布的判断与应用. 1 二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 2 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 3 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率． 2.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. 3. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：. ⑶正态曲线的性质. 1 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 2 曲线关于直线对称. 3 当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.[来源:学。科。网] ④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 4. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是. 注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通 常用表示，且有. 5.⑴“3”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. 【真题分析】 1.【2018全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 2.【2018年高考浙江卷】设，随机变量ξ的分布列是 ξ 0[来源:学.科.网] 1 2 P 当p在（0，1）内增大时，则（ ） A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大[来源:Zxxk.Com] C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小 3.【2019优选题】在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）. A. B. C. D. 4.【2019优选题】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为( ). （附：若随机变量服从正态分布，则， ） A. 　　B． 　　 C． 　　D． 5. 【2019优选题】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）． A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 6.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”