微专题10 函数的零点个数问题-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题十 函数的零点个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点 2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。 （1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续） ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号 3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为，则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程，无法直接求出根，构造函数，由即可判定其零点必在中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理 作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。 缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 （2）方程的根： 工具：方程的等价变形 作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数 缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数 （3）两函数的交点： 工具：数形结合 作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7 函数的图像） 3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。 三、例题精析： 例1：直线与函数的图象有三个相异的交点，则的取值范围为 (　　)． A． B． C． D． 例2：设函数，若关于的方程在上恰有两个相异实根，则实数的取值范围是_________ 【名师点睛】：（1）本题中的方程为，在构造函数时，进行了与的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于的函数易于作出图像，则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为，构造函数并进行数形结合。 （2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意能否取到边界值。 例3：已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【名师点睛】：（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。 （2）本题所求在图像中扮演两个角色，一方面决定左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。 例4：已知函数满足，当，若在区间内， 函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A． B. C． D． 【名师点睛】：本题有以下两个亮点。 （1）如何利用 ，已知的解析式求的解析式。 （2）参数的作用为直线的斜率，故数形结合求出三个交点时的范围 例5：已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ） A． 4 B．6 C．8