2019-2020学年人教A版数学选修2-2（课件+提能达标过关）2.3　数学归纳法 (2份打包)

第二章 2．3　数学归纳法 提能达标过关 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为(　　) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 解析：当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2. 答案：B 2．用数学归纳法证明“1＋<n(n∈N*，n>1)”时，由假设n＝k(k>1，k∈N*)不等式成立，推证n＝k＋1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是(　　) ＋…＋＋ A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：当n＝k时，不等式左边含有2k－1项，当n＝k＋1时，不等式左边含有2k＋1－1项，所以由n＝k推证n＝k＋1时，不等式左边增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k，故选C. 答案：C 3．(2019·石嘴山中学高二检测)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 解析：因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)， f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k. 答案：C 4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)时，某学生的证明过程如下 ①当n＝1时，12＝，等式成立； ②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时， 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2 ＝ ＝ ＝， 所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立． 那么上述证明(　　) A．过程全都正确 B．当n＝1时验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A. 答案：A 5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(　　) A．a＝ B．a＝b＝c＝，b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c 解析：令n＝1,2,3， 得 即 解得a＝. ，c＝，b＝ 答案：A 二、填空题 6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． 解析：∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.∴需证n＝2k＋1时，命题成立． 答案：2k＋1 7．(2019·南阳一中高二月考)用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________． 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24， 所以原式为1＋2＋22＋23＋24， 从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1. 答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 8．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝－ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 答案：k＋1 三、解答题 9．(2019·泉州高二期末)证明：1－(n∈N*)． ＋…＋＋＝－＋…＋－＋ 证明：①当n＝1时，左边＝1－，等式成立． ，右边＝＝ ②假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立． 即1－－＋…＋ ＝. ＋…＋＋ 则当n＝k＋1时， 左边＝1－－＋－＋…＋ ＝－＋＋…＋＋ ＝＋＋＋…＋ ＝， ＋＋…＋＋ 所以当n＝k＋1时等式也成立， 由①②知，对一切n∈N*等式都成立． 10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0. (1)计算a2，a3，a4的值，并猜想an的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在(1)中的猜想． 解：(1)a2＝. ＝，a4＝＝，a3＝＝ 由此猜想an＝(n∈N*)． (2)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立； ②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立， 即ak＝. 当n＝k＋1时， ak＋1＝， ＝＝ ∴当n＝k＋1时结论成立， 由①②知，对于任意的n∈N*，an＝恒成立． $$ 第二章　推