1.2.2 极坐标和直角坐标的互化（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二课时　极坐标和直角坐标的互化 [课标领航]　1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．　2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．　3．能够根据坐标转化解决某些数学问题． 点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为________，x轴的正半轴作为________，并在两种坐标系中取相同的________，如图所示． (2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化 公式 在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角． 自我校对 (1)极点　极轴　长度单位 (2)ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0) 1．点A的极坐标是，则点A的直角坐标为(　　) A．(－1，－)　　　　　　　 B．(－，1) C．(－，－1) D．(，－1) 解析：x＝ρcos θ＝2×cos ＝－， y＝ρsin θ＝2×sin ＝－1. 答案：C 2．点M的直角坐标是(－2，0)，则点M的极坐标可以为(　　) A．(π，2) B．(2，π) C．(2，－π) D．(2，2kπ)(k∈Z) 解析：∵ρ＝＝2，tan θ＝＝0， 由于点(－2，0)在x轴的非正半轴上，所以θ＝π， ∴将直角坐标(－2，0)化为极坐标为(2，π)． 答案：B 3．极坐标为(3，3)的点在直角坐标系的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为ρ＝3，θ＝3∈， ∴x＝ρcos θ＜0，y＝ρsin θ＞0， 所以极坐标为(3，3)的点在直角坐标系的第二象限． 答案：B 4．极坐标为(ρ，ρ)(ρ＞0)的点的直角坐标为(x，y)，且x＝y，则ρ＝________． 解析：∵x＝y，∴ρcos ρ＝ρsin ρ， ∴cos ρ＝sin ρ， ∴ρ＝＋kπ，k∈N. 答案：＋kπ 5．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________． 解析：A、B的直角坐标为，， k＝－1，倾斜角为，故直线与极轴的夹角为. 答案： 类型一　化极坐标为直角坐标 例1,►分别将下列点的极坐标化为直角坐标． (1)；(2)；(3). 【解析】　(1)∵x＝ρcos θ＝4cos ＝4×＝2， y＝ρsin θ＝4sin ＝4×＝2， ∴极坐标化为直角坐标为(2，2)． (2)∵x＝2cos ＝2×＝1， y＝2sin ＝2×＝－， ∴极坐标化为直角坐标为(1，－)． (3)∵cos ＝＝＝， sin ＝＝＝， ∴x＝4cos＝4cos ＝＋， y＝4sin＝－4sin ＝－， ∴极坐标化为直角坐标为(＋，－)． 【点拨提升】　将点的极坐标转化为直角坐标时，运用到求角的正弦值和余弦值，熟记特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)；(2)；(3)； (4)(π，π)；(5)(6，2)． 解析：(1)∵x＝ρcos θ＝2cos ＝， y＝ρsin θ＝2sin ＝1. ∴点的极坐标化为直角坐标为(，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cos ＝0，y＝ρsin θ＝3sin ＝3. ∴点的极坐标化为直角坐标为(0，3)． (3)∵x＝ρcos θ＝4cos ＝－2， y＝ρsin θ＝4sin ＝2. ∴点的极坐标化为直角坐标为(－2，2)． (4)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)． (5)∵x＝ρcos θ＝6cos 2，y＝ρsin θ＝6sin 2. ∴点的极坐标(6，2)化为直角坐标为(6cos 2，6sin 2)． 类型二　化直角坐标为极坐标 例2,►分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)． (1)(－1，1)；(2)(4，－4)； (3)；(4)(－，－)． 【解析】　(1)∵ρ＝＝， tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝， ∴直角坐标(－1，1)化为极坐标为. (2)∵ρ＝＝8， tan θ＝＝－，θ∈[0，2π)， 由于点(4，－4)在第四象限， 所以θ＝， ∴直角坐标(4，－4)化为极坐标为. (3)∵ρ＝＝， tan θ＝＝1，θ∈[0，2π)，[来源:学_科_网] 由于点在第一象限， 所以θ＝， ∴直角坐标化为极坐标为. (4)∵ρ＝＝2， tan θ＝＝，θ∈[0，2π)， 由于点(－，－)在第三象限， 所以θ＝， ∴直角坐标(－，－)化为极坐标为. 【点拨提升】　将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公