1.3 简单曲线的极坐标方程（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第三节　简单曲线的极坐标方程 [课标领航]　1．了解极坐标方程的意义．　2．掌握直线和圆的极坐标方程．　3．能够根据极坐标方程研究有关数学问题． 1．曲线的直角坐标方程 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系： (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程________，并且坐标适合方程________的点都在曲线C上，那么方程________叫做曲线C的极坐标方程． 3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点， 半径为r的圆 ________(0≤θ＜2π) 圆心为(r，0)， 半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为， 半径为r的圆 ρ＝2rsin θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角 为α的直线 (1)______(ρ∈R)或 ______(ρ∈R) (2)______和______ 过点(a，0)，与极 轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与 极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0＜θ＜π) 自我校对 2．f(ρ，θ)＝0　f(ρ，θ)＝0　f(ρ，θ)＝0 3．ρ＝r　θ＝α　θ＝π＋α　θ＝α(ρ≥0)　θ＝π＋α(ρ≥0) 1．极坐标方程θ＝(ρ≥0)表示(　　) A．点　　　　　　　　　　 B．射线 C．直线 D．圆 解析：∵ρ≥0，∴方程表示射线． 答案：B 2．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是(　　) A. B． C. D． 解析：验证可知选D. 答案：D 3．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是(　　) A. B． C. D． 解析：圆的方程可化为ρ＝2cos.这是ρ＝2rcos(θ－θ0)的形式，它的圆心为O′(r，θ0)．本题也可化为直角坐标方程求解． 答案：A 4．直线ρsin＝与直线ρcos＝之间的距离为________． 解析：直线ρsin＝ 即ρ ＝，化为直角坐标方程为x－y＋1＝0， 同理，直线ρcos＝的直角坐标方程为x－y－1＝0， 故两条平行线之间的距离为d＝＝. 答案： 5．极坐标方程ρcos θ＝sin 2θ所表示曲线是________．[来源:Z|xx|k.Com] 解析：∵ρcos θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ， ∴cos θ＝0或ρ＝2sin θ.[来源:Z。xx。k.Com] cos θ＝0表示一条直线(垂直于极轴)； ρ＝2sin θ ＝2cos表示圆心为，半径为1的圆． 答案：一个直线和一个圆 类型一　圆的极坐标方程 例1,►求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程． 【解析】　如图，设M(ρ，θ)为圆上除O、B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝，∠BMO＝，从而△BOM为直角三角形，所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，即ρ＝4cos＝－4sin θ，点O(0，0)，B也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 【点拨提升】　(1)求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点． (2)极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解直角或斜三角形． 1．求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 解析：在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP， 故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)． 类型二　直线或射线的极坐标方程 例2,►求过点A(1，0)且倾斜角为的直线的极坐标方程． 【解析】　方法一：设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点，则∠xAM＝，∠OAM＝， ∠OMA＝－θ， 在△OAM中，由正弦定理得 ＝， 即＝，∴ρsin＝， ρ＝， 化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A(1，0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ＜(ρ≥0)和＜θ＜2π(ρ≥0)． 方法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率k＝tan ＝1， 直线方程为y＝x－1， 将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ＜(ρ≥0)和＜θ＜2π(ρ≥0)． 【点拨提升】　解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了