知识整合与阶段检测（一）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与阶段检测（一） 突破一　平面直角坐标系中的伸缩变换 函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把f(x)图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的倍(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A＞0，且A≠1)的图象，可以看作f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的． 图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式在使用时，需分清新旧坐标． 例1,►说出由曲线y＝tan x得到曲线y＝3tan(2x)的变换规律，并求出满足其图形变换的伸缩变换． 【解析】　y＝tan x的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝tan(2x)．再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan(2x)． 设变换为则μy＝3tan(2λx)， 即y＝tan(2λx)． 与y＝tan x比较，则有μ＝3，λ＝.[来源:学科网] 所以所求的变换为 突破二　极坐标系及其应用 极坐标系中，点M(ρ，θ)的极坐标统一表达式为(ρ，2kπ＋θ)，k∈Z.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示，同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的． 例2,►求点M到直线ρcos＝2上的点的距离的最小值． 【解析】　点M的直角坐标为(2，2)， ∵ρcos＝2， ∴ρ(cos θcos ＋sin θsin )＝2. ∴ρcos θ＋ρsin θ＝2. ∴x＋y＝2，即x＋y－4＝0. ∴d＝＝2，即点M到直线上的点的距离的最小值为2. 突破三　求轨迹的极坐标方程 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系． 例3,►求平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离之比等于常数e的点的轨迹方程，并讨论曲线类型． 【解析】　如图所示，过点F作直线l的垂线，垂足为K， 以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系． 设M(ρ，θ)是曲线上任意一点，连接MF，作MA⊥l，MB⊥Fx，垂足分别为A、B，那么点M适合条件＝e，设定点F到定直线l的距离|FK|＝p， 由|MF|＝ρ，|MA|＝|BK|＝p＋ρcos θ， 得＝e，得ρ＝为所求． 将ρ＝化为ρ＝eρcos θ＋ep， 将ρcos θ＝x，ρ＝代入上式， 得＝e(x＋p)， 两边平方得x2＋y2＝e2(x2＋2px＋p2) ＝e2x2＋2pe2x＋e2p2， ∴(1－e)2x2＋y2－2pe2x－e2p2＝0① 这就是曲线的直角坐标方程，亦即普通方程． 下面通过讨论e的不同取值判断曲线的类型． (1)当0＜e＜1时，1－e2＞0， 由①配方得＋＝1，为中心在的椭圆． (2)当e＝1时，由①得y2＝2p，为顶点在的抛物线． (3)当e＞1时，由①配方得－＝1， 为中心在的双曲线． 由上述分析可知，ρ＝(e＞0，p＞0)是椭圆、双曲线与抛物线这三种圆锥曲线的统一的极坐标方程． 突破四　柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点P的柱坐标． (2)球坐标系：建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q.Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为θ，则P(r，φ，θ)为P点的球坐标． [来源:学_科_网] 例4,►已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标． 【解析】　点C1的直角坐标为(1，1，1)， 设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)， 其中ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式及 得及， 得及 结合图形得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝. ∴点C1的直角坐标为(1，1，1)，柱坐标为，球坐标为(，φ，)，其中tan φ＝，0≤φ≤π. 突破五　本讲中的思想方法 1．坐标法思想 运用坐标方法研究曲线(含直线)的形状与性质是典型的数形结合思想的体现，坐标系的建立，在代数与几何之间架起了一座桥梁，使直观的几何图形一些性质的证明通过数量运算得以完美实现． 例5,►求证：三角形的三条高线交于一点． 【证明】　证法一：如图所示，AD，BE，CO分别是三角形ABC的三条高，取边AB所在的直线为x轴，边AB上的高CO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．设A，B，C的坐标依次为(－a，0)，(b，0)，(0，c)，则kAC＝，k