2.1.2 参数方程和普通方程的互化（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二课时　参数方程和普通方程的互化 [课标领航]　1．了解参数方程化为普通方程的意义．　2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．　3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题． 1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． 2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如____________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的________保持一致． 自我校对 1．消去参数 2．x＝f(t)　y＝g(t)　取值范围 1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　) A．y＝x－2　　　　　　　 B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 解析：把sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ＝2＋y，即y＝x－2，其中0≤y≤1，可得2≤x≤3，所以应选C. 答案：C 2．直线y＝2x＋1的参数方程是(　　) A. B． C. D． 解析：直线y＝2x＋1中，x∈R，y∈R，排除A、D.在y＝2x＋1中，x＝0时，y＝1，排除B，故选C. 答案：C[来源:学科网] 3．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　)[来源:Zxxk.Com] A．直线 B．圆 C．线段 D．射线 解析：∵x＝cos2θ，x∈[0，1]，y＝sin2θ， ∴y∈[0，1]，y＝1－cos2θ＝1－x ∴x＋y＝1，是一条线段，故选C. 答案：C 4．已知F是曲线(θ∈R)的焦点，A(1，0)，则|AF|的值等于________． 解析：曲线的参数方程 即曲线的普通方程为x2＝4y. 焦点F(0，1)，由于A(1，0)，则|AF|＝. 答案： 5．一架救援飞机以100 m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m时投放救灾物资，此时飞机的飞行高度约是________．(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2) 解析：设物资投出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，由于物资作平抛运动，点M(x，y)满足 即 令x＝100t＝1 000，得t＝10(s)， 由y＝h－5t2＝h－500＝0，得h＝500 m. 答案：500 m 类型一　将参数方程化为普通方程 例1,►将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线． (1)(t为参数)； (2)(t为参数，0≤t≤π)； (3)(θ为参数)； (4)(a、b为大于零的常数，t为参数)． 【解析】　(1)由已知t＝，代入y＝4t中，得 4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线． (2)∵0≤t≤π，－1≤cos t≤1，0≤sin t≤1. ∴－3≤x≤5，－2≤y≤2， (x－1)2＋(y＋2)2＝16 cos2t＋16sin2t＝16. ∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆． (3)由y＝－1＋cos 2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0， 又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3， ∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段． (4)∵x＝，∴t>0时，x∈[a，＋∞)， t<0时，x∈(－∞，－a]． 由x＝两边平方可得x2＝①， 由y＝两边平方可得y2＝②， ①－②并化简，得－＝1，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线． 【点拨提升】　参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，根据t的取值范围推导出x，y的取值范围． 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线． (1)(t为参数)； (2)(t≥0，t为参数)； (3)(t为参数)． 解析：(1)由x＝＋1≥1，有＝x－1，代入y＝1－2，得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1，1)为端点的一条射线． (2) 由②解出t＝y－1，代入①中， 得x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－x(y≥1)． 方程表示的曲线是顶点为(0，1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分． (3)⇒ ⇒＝4. 又因为x＝et＋e－t≥2， 所以(t为参数)的普通方程为－＝1(x≥2)． 方程表示以(±2，0)为焦点的双曲线的右支． 类型二　将普通方程化为参数方程 例2,►化普通方程x2＋y2－2x＝0为参数方程． 【解析】　曲线过(0，0)点，可选择(0，0)为定点，过这个定点的直线