2.2 圆锥曲线的参数方程（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二节　圆锥曲线的参数方程 [课标领航]　1．了解双曲线、抛物线的参数方程．　2．掌握椭圆的参数方程及其应用．　3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题． 1．椭圆的参数方程 普通方程 参数方程 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 2．双曲线的参数方程 普通方程 参数方程 －＝1(a>0，b>0) (φ为参数) －＝1(a>0，b>0) (φ为参数) 3．抛物线的参数方程 普通方程 参数方程 y2＝2px(p>0) (t为参数) y2＝－2px(p>0) (t为参数) x2＝2py(p>0) (t为参数) x2＝－2py(p>0) (t为参数) 自我校对 1．acos φ　bsin φ 2．asec φ　btan φ　bcot φ　acsc φ[来源:Zxxk.Com] 3．2pt2　2pt　－2pt2　2pt　2pt　2pt2　2pt　－2pt2 1．曲线C：(φ为参数)的离心率为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：由得 于是＋＝cos2φ＋sin2φ＝1， 方程的曲线为椭圆，由a2＝9，b2＝5，得c2＝4， ∴离心率e＝＝. 答案：A 2．已知某条曲线的参数方程为(a是参数)，则该曲线是(　　) A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 解析：由两式相加得x＋y＝a①，两式相减得x－y＝②，①×②得x2－y2＝1. 答案：C 3．已知双曲线的参数方程为(θ为参数)，则它的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±2x[来源:学科网] 解析：双曲线的普通方程为－x2＝1，故渐近线方程为y＝±2x. 答案：D 4．实数x，y满足＋＝1，则z＝x－y的最大值为________；最小值为________． 解析：由椭圆的参数方程，可设x＝4cos θ，y＝3sin θ， ∴z＝x－y＝4cos θ－3sin θ＝5cos(θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝.∴－5≤z≤5. 答案：5　－5 5．设y＝2sec t(t为参数)，则9y2－4x2＝36的一个参数方程是________． 解析：把y＝2sec t代入9y2－4x2＝36，得36sec2t－4x2＝36.x2＝9(sec2t－1)，∴x＝±3tan t，由参数t的任意性， 可得参数方程是(t为参数)． 答案：(t为参数) 类型一　椭圆参数方程的应用 例1,►已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值． 【解析】　直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0. 因为P为椭圆＋y2＝1上任意点，故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)．因此点P到直线l的距离d＝＝.所以， 当sin＝1，即θ＝时，d取得最大值. 【点拨提升】　(1)用研究椭圆问题时，椭圆上任一点的坐标可记作(acos θ，bsin θ)． (2)利用asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)化简，运用三角函数的有界性求最值． 1．如图所示，已知点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a，0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值． 解析：方法一：M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点， 由椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设M(acos φ，bsin φ)，其中0<φ<，因此， S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝OA·yM＋OB·xM＝ab(sin φ＋cos φ)＝absin.[来源:学科网] 所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab. 方法二：设M(x，y)，x>0，y>0，则y＝b， S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝OA·y＋OB·x ＝ab＋bx＝b(＋x) ＝b＝b ＝b≤b＝ab. 类型二　双曲线参数方程的应用 例2,►已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值． 【解析】　双曲线x2－y2＝1的参数方程为 则Q(sec θ，tan θ)，又圆心C(0，2)，则 |CQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3，当tan θ＝1，即θ＝时，|CQ|2取最小值3，此时有|CQ|min＝. 又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝－1. 【点拨提升】　在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用． 2．求证：双曲线上任一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值． 证明：方