2.4 渐开线与摆线（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第四节　渐开线与摆线 [课标领航]　1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．　2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例． 1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的________，相应的定圆叫做________．[来源:学。科。网Z。X。X。K] 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个________的轨迹，圆的摆线又叫________． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线方程：__________________________________________. (2)摆线的参数方程：______________________________. 自我校对 1．渐开线　基圆 2．定点　旋轮线 3．(1) (2)(φ为参数) 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C 2．如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB＝时，圆的渐开线上的点M到基圆上B点的距离为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D．π 解析：由圆的渐开线的形成过程知： |BM|＝＝×2＝. 答案：B 3．圆的渐开线方程为(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为(　　) A．(－2，2π) B．(－2，π) C．(4，2π) D．(－4，2π) 解析：把φ＝π代入渐开线方程得x＝2(cosπ＋πsin π)＝－2， y＝2(sin π－πcos π)＝2π，故对应点的坐标为(－2，2π)． 答案：A 4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________． 解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直径为16.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π)． 答案：16　(4＋π，4－π) 5．给出某渐开线的参数方程(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是______． 解析：与渐开线的参数方程进行对照可知，r＝3，即基圆半径是3，然后把φ＝代入，可得 答案：3　 [来源:学科网ZXXK] 类型一　求圆的渐开线的参数方程 例1,►有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm.求齿廓线所在的渐开线的参数方程． 【解析】　因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为 【点拨提升】　解这类问题关键要记住圆的渐开线参数方程的形式以及每个字母的含义． 1．求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 解析：以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则 |AM|＝＝4θ. 作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得 ＝(4cos θ，4sin θ)． 由几何知识知∠MAB＝θ，[来源:学+科+网] ＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得＝＋ ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)． 又＝(x，y)， 因此有 这就是所求圆的渐开线的参数方程． 类型二　求摆线的参数方程 例2,►已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程． 【解析】　令r(1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1. 所以φ＝2kπ(k∈Z)代入， 得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1， 所以r＝. 又由题意可知，r是圆的半径，故r>0. 所