知识整合与阶段检测（二）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与阶段检测（二） 突破一　曲线的参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思想是消去参数，常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法．不是所有的参数方程都可化为普通方程． 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化成参数方程时，选择的参数不同其参数方程不同． 参数方程与普通方程互化时一定要保证两种方程形式中x、y范围相同． 例1,►根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ为参数) (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数) 【解析】　(1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1得：y＝2＋sin θ. ∴(θ为参数)， 这就是所求的参数方程． (2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1 ∴(t为参数)， 这就是所求的参数方程． 例2,►已知曲线的参数方程为(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 【解析】　由曲线的参数方程 得 ∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. ∵0≤t≤π，∴0≤sin t≤1.从而0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的普通方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为2. 突破二　直线与圆的参数方程 求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题． 例3,►直线(t为参数)的倾斜角是(　　) A．20°　　　　　　　　　 B．70° C．110° D．160° 【解析】　方法一：将原方程改写成[来源:学,科,网] 消去t，得y＝－(x－3)cot 20°， 即y＝(x－3)tan 110°，所以倾斜角为110°. 方法二：将原参数方程化为 令－t＝t′，则 所以直线倾斜角为110°. 【答案】　C 例4,►已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？ 【解析】　将参数方程转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，并代入圆的方程，得＋＝9， 整理，得t′2＋8t′－4＝0. 设方程的两根分别为t1′，t2′，则有 t1′＋t2′＝－，t1′·t2′＝－4. 所以|t1′－t2′|＝， ＝＝， 即直线被圆截得的弦长为. 突破三　圆锥曲线的参数方程 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式． 例5,►设P是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值． 【解析】　方法一：令x＋2y＝t，且x，y满足4x2＋9y2＝36， 故点(x，y)是方程组的公共解． 消去x得25y2－16ty＋4t2－36＝0， 由Δ＝(－16t)2－4×25×(4t2－36)≥0，即t2≤25， 解得－5≤t≤5， ∴x＋2y的最大值为5，最小值为－5. 方法二：由椭圆方程4x2＋9y2＝36，得＋＝1， 设x＝3cos θ，y＝2sin θ，代入x＋2y得x＋2y＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)， 其中，tan φ＝，φ角的终边过点(4，3)． 由于－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－5≤5sin(θ＋φ)≤5. 当sin θ＝，cos θ＝时，(x＋2y)max＝5； 当sin θ＝－，cos θ＝－时，(x＋2y)min＝－5. ∴x＋2y的最大值为5，最小值为－5. 例6,►已知线段|BB′|＝4.直线l垂直平分BB′交BB′于点O，并且在l上O点的同侧取两点P、P′，使|OP|·|OP′|＝9，求直线B′P′与直线BP的交点M的轨迹． 【解析】　如图，以O为原点，l为x轴，BB′为y轴，建立直角坐标系xOy. 依题意，可知B(0，2)，B′(0，－2)，又可设P(a，0)，P′，其中a为参数，可取任意非零的实数． 直线BP的方程为＋＝1， 直线B′P′的方程为＋＝1. 两直线方程化简为 解得直线BP与B′P′的交点坐标为 (a为参数)， 消去参数a，得＋＝1(x≠0)． ∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆(除去B、B′