突破3.2 简单的三角恒等变换-【突破满分数学】高一数学重难点突破（人教A版必修4）

突破3.2 简单的三角恒等变换 一、考情分析 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力． 二、经验分享 1 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 和角与差角公式 ; ; . = ( 由点 的象限决定, ). 3 二倍角公式及降幂公式 . . 4 三角函数的周期公式 函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 ； 函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 . 三角函数的图像： 三、题型分析 (一) 利用半角以及二倍角公式求函数值 例1．（1）（2018·全国高考真题（文））若，则（ ） A． B． C． D． （2）（2019·四川高三月考（文））已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】．若，则的值为（ ） A． B． C． D． (二) 利用辅助角公式研究函数性质 例2．（2017·北京高一期中）函数的最小正周期为__________，最大值为__________． 例3．（2019·上海高三）已知函数. （1）求的定义域； （2）求函数在区间内的零点. 【变式训练1】．（2018·广东高三学业考试）函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ） A．2和 B．4和 C． 2和 D． 4和 【变式训练2】．（2018·佛山市南海区桂城中学高一期中）已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. (三) 三角函数在实际问题中的应用 例4．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ） A． B． C． D． 例5．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 （ 为此圆弧的中点）和线段 构成．已知圆 的半径为40米，点 到 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 与 所成的角为 ． (1)用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【变式训练1】．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数 关系： ， . （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 【变式训练2】．（2019·安徽高三月考（理））已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为. （1）求的值； （2）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值. 四、迁移应用 1．【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)】如图，在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为 ， .若 ，则 的值是 A． B． C． D． 2．【广东省南海中学等七校联合体2019届高三下学期冲刺模拟】已知函数 的周期为 ，当 时，方程 恰有两个不同的实数解 ， ，则 （　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 3．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知函数 的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为 ，则 （ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 4．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】关于 的方程 在 内有且仅有 个根，设最大的根是 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 5．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点 ，则 ______________。 6．【上海市崇明区2019届高三三模】函数 的单调递增区间为______ 7．【河南省百校联盟2019届