3.2 简单的三角恒等变换-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

3.2　简单的三角恒等变换 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点) 1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算素养. 2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理素养. 3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模素养. 1．半角公式 2．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)． 1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　) A．－　　 B. C．－ D. C　[∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°， ∴cos ＜0，故应选C.] 2．2sin θ＋2cos θ＝(　　) A．sin B．2sin C．2sin D.sin C　[原式＝2 ＝2＝2sin.] 3．函数f(x)＝2sin x＋cos x的最大值为 ． 　[f(x)＝sin(x＋θ)＝sin(x＋θ)≤.] 4．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于 ． －3　[由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－， ∴tan＝＝ ＝ ＝＝－3.] 化简求值问题 【例1】　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　) A.　　　　　　 B. C．－ D．－ (2)已知π<α<，化简： ＋. 思路点拨：(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值． (2)1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简． (1)D　[∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈. 又cos＝a， ∴sin＝－＝－.] (2)[解]　原式＝＋ . ∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0， ∴原式＝＋ ＝－＋＝－cos. 1．化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2．利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 1．已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值． [解]　∵π＜α＜，sin α＝－， ∴cos α＝－，且＜＜， ∴sin ＝＝， cos ＝－＝－， tan ＝＝－2. (另tan＝＝＝－2.) 三角恒等式的证明 【例2】　求证：＝sin 2α. 思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形． [证明]　法一：用正弦、余弦公式． 左边＝ ＝＝ ＝＝sincoscos α ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边， ∴原式成立． 法二：用正切公式． 左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边， ∴原式成立． 三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 2．求证： ＝. [证明]　左边＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边． 所以原等式成立. 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例3】　若函数f(x)＝cos4－2sincos－sin4. (1)求f(x)的对称中心和初相； (2)若x∈[0，π]，求函数f(x)的单调递减区间． [解]　f(x)＝cos4－2sincos－sin4 ＝cos2－sin2－sin ＝cos－sin ＝－sin 2x－cos 2x ＝－sin， (1)由2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， ∴f(x)的对称中心为，k∈Z， 又f(x)＝－sin＝sin， ∴f(x)的初相为. (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2k