专题一 第1讲 三角函数的化简与求值（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第1讲　三角函数的化简与求值 [考情考向分析]　1.两角和(差)的正弦、余弦及正切，是高考C级要求.2.以三角函数的化简，求值为基本形式，进行三角恒等变换的考查，在解答题中必考． 热点一　三角函数式的化简与求值 例1　(1)(2019·如皋调研)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cos θ＝－，则tan＝________. 答案　－ 解析　已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，所以cos θ＝－＝－，解得x＝，所以tan θ＝＝，所以tan＝＝－. (2)(2019·无锡考试)已知θ是第四象限角，且cos θ＝，那么的值为________． 答案　 解析　依题意，有sin θ＝－， ＝ ＝＝. (3)计算tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝________. 答案　－1 解析　原式＝·cos 10°· ＝ ＝＝－＝－1. 思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 跟踪演练1　(1)已知sin(3π＋α)＝2sin，则＝________. 答案　－ 解析　∵sin(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 则＝ ＝＝＝－. (2)已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，那么＝________. 答案　1[来源:学*科*网] 解析　＝ ＝ ＝＝1. 热点二　三角函数的求角 例2　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________. 答案　 解析　∵α，β均为锐角，∴－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝，[来源:学科网] ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. ∴β＝. (2)设α∈，β∈，且tan α＝，则2α－β＝________. 答案　 解析　tan α＝ ＝ ＝＝＝tan， 又∵α∈，β∈， ∴α＝＋，∴2α－β＝. 思维升华　求角问题应先求角的某一三角函数值，再利用角的范围确定角． 跟踪演练2　(1)已知向量a＝(sin 2α，1)，b＝(cos α，1)，若a∥b, 0<α<，则α＝________. 答案　 解析　向量a＝(sin 2α，1)，b＝(cos α，1)， 若a∥b，则sin 2α－cos α＝0， 即2sin αcos α＝cos α； 又0<α<，∴cos α≠0，∴sin α＝，∴α＝. (2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________. 答案　－ 解析　∵方程x2＋3ax＋3a＋1＝0的两根分别为tan α，tan β， ∴xtan α，tan β＝， ∴tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝＝1, 又∵α，β∈， tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0， ∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈， ∴α＋β∈，结合tan＝1， 得α＋β＝－. 热点三　三角函数的综合变换 例3　(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解　(1)因为tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝， 因此cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝， 所以tan 2α＝＝－. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝＝－. 思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系．(2)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换． 跟踪演练3　在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α＋的终边经过点P(－2,1)． (1)求cos α的值； (2)求cos的值． 解　(1)由于角α＋的终边经过点P(－2,1)， 故cos＝－，sin＝， ∴cos α＝cos ＝coscos＋sinsin＝－. (2)sin α＝sin ＝sincos－cossin＝，[来源:Z|xx|k.Co