专题一 第2讲 三角函数的图象与性质（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第2讲　三角函数的图象与性质 [考情考向分析]　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.题型以填空题为主；解答题中常与向量结合，中低档难度． 热点一　三角函数的图象 例1　(1)(2019·镇江模拟)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象过点(0，)，且关于点(－2,0)对称，则f(－1)＝________. 答案　1 解析　函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象过点(0，)， ∴2sin φ＝，即sin φ＝， ∵0<φ<， ∴φ＝， 又函数图象关于点(－2,0)对称， ∴2sin＝0，即－2ω＋＝kπ，k∈Z， ∴ω＝－kπ＋，k∈Z， ∵0<ω<1， ∴ω＝， ∴f(x)＝2sin， ∴f(－1)＝2sin＝2sin ＝1.[来源:Z.xx.k.Com] (2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(2 019)＝________. 答案　－1 解析　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象， 可得A＝2，＝2，∴ω＝π. 再根据图象经过点， 可得π×＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴令k＝1，可得φ＝， ∴f(x)＝2sin， ∴f(2 019)＝2sin＝－2sin ＝－1. 思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练1　(1)(2019·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市调研)将函数y＝2sin 3x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则f的值为________． 答案　－ 解析　f(x)＝2sin 3＝2sin， 则f＝2sin＝－. (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________． 答案　2　 解析　从题图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x＝. 热点二　三角函数的性质 例2　已知函数f(x)＝(cos x＋sin x)2－2sin 2x. (1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合； (2)若x∈，求函数f(x)的单调增区间． 解　(1)f(x)＝3cos2x＋2sin xcos x＋sin2x－2sin 2x ＝＋－sin 2x ＝cos 2x－sin 2x＋2 ＝2cos＋2， 当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最小值0， 故函数f(x)的最小值是0，f(x)取得最小值时自变量x的取值集合是. (2)f(x)＝2cos＋2， 令π＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋2π(k∈Z)， 得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)， 又x∈， ∴当k＝－1时，－≤x≤－；当k＝0时，≤x≤，[来源:学§科§网] 故函数f(x)在上的单调增区间是和. 思维升华　(1)讨论三角函数的单调性，可先将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，设t＝ωx＋φ，然后利用y＝sin t的性质求解． (2)三角函数的最值问题，可利用y＝Asin(ωx＋φ)的有界性或化为关于sin x，cos x的二次函数求解． 跟踪演练2　(1)将函数f(x)＝cos ＋(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________． 答案　6 解析　∵f(x)＝sin ωx－(1＋cos ωx)＋ ＝2sin， ∴g(x)＝f ＝2sin＝2sin ωx， 又g(x)在上为增函数， ∴ω×≤，∴ω≤6， 故ω的最大值为6. (2)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f >f(π)，则f(x)的单调递增区间是__________________． 答案　(k∈Z) 解析　因为f(x)≤对x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为f >f(π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， 即sin φ<0，所以φ＝－π＋2kπ(k∈Z)， 所以f(x)＝sin， 令2