专题一 第3讲 解三角形（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第3讲　解三角形 [考情考向分析]　高考对本讲内容主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视． 热点一　三角形基本量的求解 例1　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝________. 答案　 解析　由已知得sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， ∴cos Asin C＋sin Asin C＝0， 又sin C≠0， ∴cos A＋sin A＝0，tan A＝－1， 又A∈(0，π)， ∴A＝π， 由正弦定理得，sin C＝sin A＝×＝， 又0<C<，∴C＝. (2)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin－csin＝asin. ①若b＝c，求角A的大小； ②若A＝，a＝，求sin(B－C)的值． 解　①在△ABC中，若b＝c则B＝C， ∴bsin＝csin， ∴asin＝0， ∴A＋＝kπ，k∈Z. 又0<A<π，[来源:学科网ZXXK] ∴A＝π. ②在△ABC中，若A＝，a＝， 则sin Bsin－sin Csin＝sin A·sin π＝， ∴sin B－sin C·＝， ∴＝， ∴sin(B－C)＝. 思维升华　关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 跟踪演练1　(1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________. 答案　 解析　∵bsin A＋acos B＝0， ∴＝， 由正弦定理，得－cos B＝sin B， ∴tan B＝－1， 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝. ①求b和sin A的值； ②求sin的值． 解　①在△ABC中，因为a>b， 故由sin B＝，可得cos B＝. 由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以b＝. 由正弦定理＝， 得sin A＝＝. 所以b的值为，sin A的值为. ②由①及a<c，得cos A＝， 所以sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝1－2sin2A＝－. 故sin＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝. 热点二　三角形中的最值、面积问题 例2　(1)(2019·江苏省如皋中学调研)在△ABC中，已知sin Asin Bcos C＝sin Asin Ccos B＋sin Bsin Ccos A，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则的最大值为________． 答案　 解析　由正弦、余弦定理得 ab·＝ac·＋bc·，化简得a2＋b2＝3c2，因此＝≤＝，当且仅当a＝b时等号成立．∴的最大值为. (2)(2019·全国大联考江苏卷)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝，sin C＝. ①求cos A的值； ②若c＝13，求△ABC的面积S. 解　①由<cos B＝<1，得0<B<，且sin B＝＝； (ⅰ)当C为锐角时，由sin C＝，得C＝，则cos C＝， 此时cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C＝×－×＝－； (ⅱ)当C为钝角时，由sin C＝，得C＝，则cos C＝－， 此时cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C＝×＋×＝； 综上，cos A＝－或. ②由①及正弦定理＝， 解得b＝＝＝5. 当cos A＝－时， 得sin A＝＝，则S△ABC＝bcsin A＝； 当cos A＝时，sin A＝＝， 则S△ABC＝bcsin A＝. 综上，△ABC的面积为或. 思维升华　(1)求解三角形中的最值问题常用如下方法： ①将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值． ②将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值． (2)求解面积问题时，根据已知条件选择适当的面积公式． 跟踪演练2　(1)(2019·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝120°，sin B＝2sin A，且△ABC的面积为2，则AB的长为________． 答案　2 解析　在△ABC中，由sin B＝2sin A，[来源:学_科_网Z