专题二 第1讲 空间中的平行与垂直（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第1讲　空间中的平行与垂直 [考情考向分析]　高考中立体几何的考试难度已大幅降低，命题的焦点是空间平行与垂直的证明，B级要求．试题总体在送分题的位置，但是对考生的规范答题要求比较高． 热点一　空间线面关系的判定 例1　(1)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为______．(填序号) ①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 答案　③④ 解析　可以借助长方体进行判断，①中的a，b也可能相交或异面；②中的α，β可能相交，③④正确．[来源:学科网ZXXK] (2)(2019·盐城模拟)已知直线a，b和平面α满足：① a∥b; ②a⊥α；③b⊥α，若从其中选出两个作为条件，余下一个作为结论，可以得到________个真命题． 答案　3 解析　构成的命题有①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①， 若a∥b，a⊥α，则b⊥α成立，即①②⇒③是真命题， 若a∥b，b⊥α，则a⊥α成立，即①③⇒②是真命题 若a⊥α，b⊥α，则a∥b成立，即②③⇒①是真命题， 故可以得到3个真命题． 思维升华　解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1　(1)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b∥α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α； ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c⊥α，c⊂β，则α⊥β. 其中正确的命题是______．(写出所有正确命题的序号)． 答案　④ 解析　①b和c也可能异面或相交，故①错；②可能c⊂α，故②错；③也可能c∥β，或c⊂β，或c与β斜交，故③错；④根据面面垂直判定定理判定α⊥β，故④正确． (2)如图，平面α∩平面β＝BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述正确的是________．(填序号) ①直线AD与BC是异面直线； ②过AD只能作一个平面与BC平行； ③过AD只能作一个平面与BC垂直； ④过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行． 答案　①②④ 解析　由异面直线的定义得直线AD与BC是异面直线；在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；当AD与BC不垂直时，满足题意的平面作不出来，因此③错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行．故①②④正确． 热点二　直线与平面的平行与垂直 例2　(2019·镇江模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点． (1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点； (2)若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD. 证明　(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点， ∵PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE， ∴PD∥OE， ∵O为BD的中点， ∴E为PB的中点． (2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝PC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝AB， ∴PC＝OC， ∵G为PO的中点， ∴CG⊥PO， 又∵PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， ∴PC⊥BD. 而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC， 又CG⊂平面PAC，∴BD⊥CG， ∵PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O， ∴CG⊥平面PBD. 思维升华　垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换． (2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a. 跟踪演练2　(2019·南京模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点． 求证：(1)DE∥平面ACC1A1； (2)AE⊥平面BCC1B1. 证明　(1)连结A1B，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1， 所以四边形AA1B1B是平行四边形．