专题二 第2讲 立体几何的综合问题（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第2讲　立体几何的综合问题 [考情考向分析]　江苏高考对空间几何体体积的计算是高频考点，一般考查几何体的体积或体积之间的关系．对翻折问题和探索性问题考查较少，但是复习时仍要关注． 热点一　空间几何体的计算 例1　(1)(2019·徐州模拟)已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为S1，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S2，则的值为________． 答案　 解析　设圆柱的底面圆的半径为r，则高为2r，则圆锥母线长为＝r， 所以S1＝2πr×2r＝4πr2，S2＝π×r×r＝πr2， 所以＝. (2)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝________. 答案　1＋ 解析　由平面展开图复原的几何体的下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长都是1.正方体的体积是1.棱长为1的正四棱锥的体积是×1×1×＝，故凸多面体的体积V＝1＋. 思维升华　(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题． (2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． 跟踪演练1　(1)如图，已知棱长为a的正方体ABCD－MNPQ的体积为V1，以B，D，M，P为顶点的三棱锥P－BDM的体积为V2，则＝________. 答案　 解析　依题意，易得V1＝a3，三棱锥P－BDM为正四面体，又因为三棱锥A－BDM的体积VA－BDM＝VM－ABD＝×a2·a＝，由对称性知V2＝V1－4VA－BDM＝a3，故＝. (2)在三棱锥A－BCD中，AB＝AC，DB＝DC，AB＋DB＝4，AB⊥BD，则三棱锥A－BCD外接球的体积的最小值为________． 答案　 解析　∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边， ∴△ABD≌△ACD， 又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°， 设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC， ∴O为三棱锥A－BCD的外接球的球心． ∵AB＋BD＝4，∴AD2＝AB2＋(4－AB)2＝2AB2－8AB＋16＝2(AB－2)2＋8， ∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2. ∴三棱锥外接球的最小半径为AD＝， ∴外接球的最小体积为V＝π×()3＝. 热点二　空间图形的翻折问题 例2　一副直角三角板按下面左图拼接，将△ABC折起，得到三棱锥A－BCD(下面右图)． (1)若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD； (2)若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD.[来源:学科网] 证明　(1)∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC， 又∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD， ∴EF∥平面ACD. (2)∵平面ABC⊥平面BCD，BC⊥DC， 平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊂平面BCD， ∴DC⊥平面ABC， 又∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB， 又∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD， ∴AB⊥平面ACD， 又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD. 思维升华　平面图形经过翻折成为空间图形后，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化． 跟踪演练2　在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图(1)中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥S－EFGH(如图(2))，则正四棱锥S－EFGH的体积为________． 答案　 解析　设正四棱锥S－EFGH的高为h，体积为V，点S到HG的距离为h′，则 2h′＋＝4，∴h′＝， ∴h＝＝2， ∴V＝×()2×2＝. 热点三　探索性问题 例3　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，E是BC的中点，AC，DE交于点O，PO＝2，且PO⊥平面ABCD. (1)求证：PD⊥BC；[来源:学*科*网Z*X*X*K] (2)在线段AP上找一点F，使得BF∥平面PDE，并求此时四面体PDEF的体积． (1)证明　由题意可得△BCD是正三角形，E为BC的中点， ∴DE⊥BC. 又PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PO⊥BC， 而DE∩PO＝O，DE⊂平面PDE，PO⊂平面PDE， ∴BC⊥平面PDE， 又PD⊂平面PDE， 故PD⊥BC. (2)解　取AP中点为F，PD中点为G，连结FG，FB，GE，则FG为△PAD的中位线(如图)， ∵FG∥AD∥BE， FG＝AD＝BE， ∴四边形BFGE为平行四边形，∴BF∥EG，又BF⊄平面PDE， EG⊂平面PDE，∴BF∥平面PDE. 由(1)知BC⊥平面PDE， 而BC∥FG， ∴FG⊥平面PDE. ∴V四面