专题三 第1讲 不等式的解法与三个“二次”的关系（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第1讲　不等式的解法与三个“二次”的关系 [考情考向分析]　不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查．主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用． 热点一　不等式的解法 例1　(1) 已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是________． 答案　[－1,1] 解析　依题意得或 解得－1≤x≤0或0＜x≤1，即－1≤x≤1. (2)解关于x的不等式<x. 解　由<x，可得<0， 可化为(ax＋3)(x－a)<0. 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<0}； 当a>0时，(x－a)<0， ∴解集为； 当a<0时，(x－a)>0， ∴解集为. 思维升华　不等式的解法主要是两种：一种是利用其解法直接求解，含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数、判别式符号及两根大小；另一种方法是利用函数图象及性质求解． 跟踪演练1　(1)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则不等式x⊙(x－2)＜0的解集是____________． 答案　 解析　由题意得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2， 解x(x－2)＋2x＋x－2<0，得－2<x<1. (2)解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0. 解　当a＝0时，原不等式可化为x－2<0，所以x<2. 当a≠0时，原不等式化为a(x－2)>0， ①当a>1时，<2，原不等式化为(x－2)>0，所以x<或x>2. ②当a＝1时，＝2，原不等式化为(x－2)2>0，所以x∈R且x≠2. ③当0<a<1时，>2，原不等式化为(x－2)·>0，则x<2或x>. ④当a<0时，<2，原不等式化为(x－2)<0，所以<x<2. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x<2}； 当a>1时，不等式的解集为；[来源:Z#xx#k.Com] 当a＝1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a<0时，不等式的解集为. 热点二　三个“二次”之间的关系 例2　(1)(2019·南通市海安高级中学月考)已知关于x的不等式ax2－bx－c>0的解集是(－2,1)，则不等式cx2－bx－a>0的解集是________．[来源:Zxxk.Com] 答案　 解析　由ax2－bx－c>0的解集是(－2,1)，可知－2和1是方程ax2－bx－c＝0的两根且a<0， ∴ 可得 ∴cx2－bx－a>0⇔2ax2＋ax－a>0，(*) 又a<0， ∴不等式(*)可化为 2x2＋x－1<0， 解得－1<x<， 故不等式cx2－bx－a>0的解集为. (2)对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________． 答案　(－4,4) 解析　因为f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值， 所以可得解得－4<a<4， 即a的取值范围是(－4,4)． 思维升华　三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，注意判断或分类讨论二次项系数的符号． 跟踪演练2　(1)已知m，n为实数，若关于x的不等式x2＋mx＋n＜0的解集为(－1,3)，则m＋n的值为________________． 答案　－5 解析　由题意得，－1,3为方程x2＋mx＋n＝0的两根， 因此解得m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5. (2)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)>c－1的解集为(m－4，m＋1)，则实数c的值为________． 答案　－ 解析　由题意得Δ＝0，a2＋4b＝0， ∴f(x)＝－2 ，由f(x)>c－1，解得c<1， 即2<1－c，－<x<＋ ， 因此－＝m－4，＋＝m＋1， ∴2＝5，c＝－. 热点三　 一元二次不等式的综合问题 例3　(1)已知函数f(x)＝x2－kx＋4对任意的x∈[1,3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k的最大值为________． 答案　4 解析　∵函数f(x)＝x2－kx＋4对任意的x∈[1,3]，不等式f(x)≥0恒成立， ∴x2－kx＋4≥0，化简可得k≤x＋. ∵x＋≥2＝4， 当且仅当x＝2时取等号， ∴k≤4， ∴实数k的最大值为4. (2)已知函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 解　令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋>0， 故f(x)＝0在R上有两个不相等的实数根， 若函数f(x)＝0在区间[－1,3]上有且只有一个零点，则需f(－1)·f(3)≤0. 由f(－1)·f(3)＝4(1－a)(5a＋1)≤0， 得a≤－或a≥1. 又当f(－1)＝0时