专题三 第2讲 线性规划与基本不等式（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第2讲　线性规划与基本不等式 [考情考向分析]　1.线性规划在江苏考试说明中的要求是A级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上． 热点一　简单的线性规划问题 例1　(1)(2019·连云港模拟)若实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y＋4的最大值为________． 答案　9 解析　画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示， 目标函数z＝x＋2y＋4可化为y＝－＋，即斜率为－，截距为的动直线， 由图可知，当动直线过点A(1,2)时，其在y轴上的截距最大，即z取得最大值， 所以目标函数z＝x＋2y＋4的最大值为9. (2)设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y的最小值为－2，则a＝________. 答案　－2 解析　约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当－a≤1，即a≥－1时，当目标函数所在直线y＝－ax＋z经过点(1,1)时，z取得最小值，则zmin＝a＋1＝－2，即a＝－3(舍去)；当－a>1，即a<－1时，当目标函数所在直线y＝－ax＋z经过点(2,2)时，z取得最小值，则zmin＝2a＋2＝－2，即a＝－2，符合题意，故a＝－2. 思维升华　求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：(1)作出可行域；(2)找到目标函数对应的最优解对应点；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 跟踪演练1　(1)(2019·江苏省仪征中学期中)已知则z＝ 的取值范围为________． 答案　 解析　作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示： z＝表示可行域内的点(x，y)与(0,0)的连线的斜率，由图象可知kOA≤z≤kOC， 由得A(3,1)， 由得C(1,3), 又因为kOA＝，kOC＝3， 所以≤z≤3. (2)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元． 答案　216 000 解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 目标函数z＝2 100x＋900y. 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 热点二　利用基本不等式求最值 例2　(1)(2019·苏北四市模拟)已知正实数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________． 答案　7＋4 解析　正实数x，y满足＋＝1，则x＋y＝xy， 所以＋＝＝4x＋3y， 则(4x＋3y)×＝4＋＋＋3≥ 7＋2＝7＋4，当且仅且＝，即x＝＋1，y＝＋1时等号成立． 故＋的最小值为7＋4. (2)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3x，若正数a，b满足f(2a－1)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值为________． 答案　 解析　由题意得f(－x)＝－f(x)，且f(x)为单调增函数，最多有一个零点， 所以f(2a－1)＋f(b－1)＝0，即f(2a－1)＝－f(b－1)， 所以2a－1＝1－b，即 2a＋b＝2,2(a＋1)＋b＝4， 所以 ＋＝＋b＋ ＝2＋b＋＋－4＝＋. 又＋＝× ＝≥， 当且仅当a＝，b＝时取等号． 所以＋的最小值为. 思维升华　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 跟踪演练2　(1)若a>0，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________． 答案　3 解析　∵a>0，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3. (2)(2019·如皋调研)已知f(x)＝|log3x|，若a，b满足