专题四 第2讲 导数及其应用（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第2讲　导数及其应用 [考情考向分析]　1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是B级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级． 热点一　函数图象的切线问题 例1　 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0， 解得a≠－. 所以a的取值范围是∪. 思维升华　解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系． 跟踪演练1　(1)(2019·苏州调研)已知y＝kx＋b是函数f(x)＝ln x＋x的切线，则2k＋b的最小值为________． 答案　2＋ln 2 解析　根据题意，设直线与函数f(x)的切点为 (m，ln m＋m)，m>0， 因为f′(x)＝＋1，所以f′(m)＝＋1， 则f(x)的切线方程为y＝x＋ln m－1， 故k＝＋1，b＝ln m－1， 则2k＋b＝＋2＋ln m－1＝ln m＋＋1， 设g(m)＝ln m＋＋1，则g′(m)＝－＝， 在区间(0,2)上，g(m)为减函数，在(2，＋∞)上，g(m)为增函数， 则g(m)min＝g(2)＝ln 2＋2， 故2k＋b的最小值为ln 2＋2. (2)若曲线y＝x2与曲线y＝aln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a的值为________． 答案　1 解析　两曲线的导数分别是y′＝x，y′＝ ， 因为在P处有公切线，所以＝且＝aln s， 解得a＝1. 热点二　利用导数研究函数的单调性 例2　已知函数f(x)＝2ln x＋bx，直线y＝2x－2与曲线y＝f(x)相切于点P. (1)求点P的坐标及b的值； (2)若函数g(x)＝x－(a>0)，讨论函数h(x)＝g(x)－f(x)的单调区间． 解　 (1)设P(x0，y0)为直线y＝2x－2与曲线y＝f(x)的切点坐标，则有2ln x0＋bx0＝2x0－2.① 因为f′(x)＝＋b(x＞0)，所以＋b＝2.② 联立①②解得b＝0，x0＝1，则切点P(1,0)，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝2ln x，则h(x)＝g(x)－f(x)＝x－－2ln x(x>0)． 求导得h′(x)＝1＋－＝(x>0)． 令y＝x2－2x＋a(x＞0)． ①若Δ＝4－4a≤0，即a≥1时，y≥0，即h′(x)≥0，此时函数h(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数； ②若Δ＝4－4a>0，即0<a<1时，函数y＝x2－2x＋a有两个不同零点x1＝1－，x2＝1＋. 因为0<a<1，所以0＜x1＜x2. 当0<x<x1和x>x2时，y＞0， 即h′(x)>0，h(x)为增函数； 当x1<x<x2时，y＜0，即h′(x)<0，h(x)为减函数． 综上所述，当a≥1时，函数h(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当0<a<1时，函数h(x)的单调增区间为(0,1－)，(1＋，＋∞)，单调减区间为(1－，1＋)． 思维升华　利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f′(x)． (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解． 跟踪演练2　(1)已知函数f(x)＝ex－x2－ax是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，1] 解析　f′(x)＝ex－x－a≥0恒成立， 令g(x)＝f′(x)＝ex－x－a，则g′(x)＝ex－1. 在(－∞，0)上，g′(x)＜0，f′(x)单调递减； 在(0，＋∞)上，g′(x)＞0，f′(x)单调递增． 由题意得f′(x)min＝f′(0)＝1－a. 所以1－a≥0，即a≤1.经检验a＝1时成立， 所以实数a的取值范围是(－∞，1]． (2)已知函数h＝ln x－x在区间上为单调函数，则实数a的取值范围是_______________________． 答案　(－∞，－e]∪[1－e，＋∞) 解析　当h在(1，＋∞)上单调递增时，则h′＝－≥0