专题四 第3讲 函数与导数的综合问题（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第3讲　函数与导数的综合问题 [考情考向分析]　函数和导数的综合问题，主要是利用导数证明不等式问题、函数零点问题、函数的实际应用问题等，一般需要研究函数的单调性和最值问题，注重数学思想的考查．B级要求，题目难度较大． 热点一　利用导数研究不等式问题 例1　(2019·淮安调研)已知函数f(x)＝(1＋x2)ex，e是自然对数的底数． (1)证明：任意x∈R，f(x)≥(1＋x2)(x＋1)恒成立； (2)若存在x<0，使得f(x)≥x2＋2x＋a成立，求实数a的取值范围． (1)证明　由y＝ex－x－1的导数为y′＝ex－1， 可得x>0时，y′>0，函数y单调递增；当x<0时，y′<0，函数y单调递减， 可得在x＝0处函数y取得极小值，且为最小值0， 可得ex≥x＋1，即(1＋x2)ex≥(1＋x2)(x＋1)， 即任意x∈R，f(x)≥(1＋x2)(x＋1)恒成立． (2)解　存在x<0，使得f(x)≥x2＋2x＋a成立， 即为a≤(1＋x2)ex－x2－2x， 令g(x)＝(1＋x2)ex－x2－2x，x<0， 可得g′(x)＝ex(x＋1)2－2(x＋1) ＝(x＋1)(xex＋ex－2)， 由y＝xex＋ex－2的导数为y′＝(x＋2)ex， 当－2<x<0时，函数y单调递增，当x<－2时，函数y单调递减， 可得在x＝－2处y取得极小值，且小于0；x＝0时，y＝－1<0，x<－2时，y<0， 可得y<0在(－∞，0)上恒成立， 即有－1<x<0时，g(x)单调递减；x<－1时，g(x)单调递增， 可得在x＝－1处g(x)取得极大值，且为最大值1＋2e－1， 即有a≤1＋2e－1. 例2　已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设x1<x2，求证：(x2－x1)[f(x1)＋ax＋f(x2)＋ax]>2． (1)解　由题可知f′(x)＝ex－2ax. 令f′(x)≥0，即ex－2ax≥0， 当x∈(2，＋∞)时有2a≤. 令m(x)＝，则m′(x)＝＝. 所以当x∈(2，＋∞)时，m′(x)>0， 所以m(x)在(2，＋∞)上单调递增． 所以2a≤，即a≤， 故实数a的取值范围为. (2)证明　令t＝，则t>1. 故(x2－x1)[f(x1)＋ax＋f(x2)＋ax]>2 ⇔x2－x1>⇔ln t>. 构造函数s(t)＝ln t－， 则s′(t)＝－＝>0. 所以s(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以s(t)>s(1)＝0， 所以当t>1时，ln t>， 故(x2－x1)[f(x1)＋ax＋f(x2)＋ax]>2． 思维升华　利用导数研究不等式恒成立问题或证明不等式问题，可以构造函数，利用导数研究函数的最值，进而证明不等式，或求出参数的取值范围；恒成立问题也可以分离变量直接转化为求函数的最值问题． 跟踪演练1　已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. (1)若f(1)＝0，求函数f(x)的单调减区间； (2)若关于x的不等式f(x)≤ax－1恒成立，求整数a的最小值． 解　(1)因为f(1)＝1－＝0，所以a＝2， 此时f(x)＝ln x－x2＋x(x>0)， f′(x)＝－2x＋1＝(x>0)． 由f′(x)<0，得2x2－x－1>0， 解得x<－或x>1. 又因为x>0，所以x>1. 所以f(x)的单调减区间为(1，＋∞)． (2)方法一　由f(x)≤ax－1恒成立，得ln x－ax2＋x≤ax－1在(0，＋∞)上恒成立， 问题等价于a≥在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝(x＞0)，只需a≥g(x)max即可． 又g′(x)＝， 令g′(x)＝0，得－x－ln x＝0. 设h(x)＝－x－ln x(x＞0)， 因为h′(x)＝－－<0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 不妨设－x－ln x＝0的根为x0. 当x∈(0，x0)时，g′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0，x0)上是增函数，在(x0，＋∞)上是减函数， 所以g(x)max＝g(x0)＝＝＝. 因为h＝ln 2－>0，h(1)＝－<0， 所以<x0<1，此时1<<2，即g(x)max∈(1,2)， 所以a≥2，即整数a的最小值为2. 方法二　令g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1， 所以g′(x)＝－ax＋(1－a)＝. 当a≤0时，因为x>0，所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又因为g(1)＝ln 1－a＋(1－a)＋1＝－a＋2>0， 所以关于x的不等式f(x)≤ax－1不能恒成立． 当a>0时，g′(x)＝＝－. 令g′(x)＝0，得x＝. 所以当x∈时，g′(x