专题四 高考提能 求解导数问题的几种策略（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

求解导数问题的几种策略 一、直接求导求函数最值 通过构造函数， 直接利用导数求函数的最值证明不等式或解决不等式恒成立的问题． 例1　若m>n>0，且mn＝nm，求证：mn>e2. 证明　∵m>n>0，mn＝nm， ∴nln m＝mln n， ∴＝，设f(x)＝，则f(m)＝f(n)， ∵f(x)的定义域为且f′(x)＝， 令f′(x)>0，得0<x<e；令f′(x)<0，得x>e， ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减， 当x→＋∞时，f(x)→0， 且f(1)＝0，则1<n<e<m， 要证mn>e2，即证m>>e，即证f(m)<f，即证f(n)<f， 即证<， 由于1<n<e，即0<ln n<1，即证e2ln n<2n2－n2ln n， 令G(x)＝e2ln x－2x2＋x2ln x(1<x<e)， 则G′(x)＝－4x＋2xln x＋x ＝＋2x. ∵1<x<e， ∴G′(x)>0恒成立，∴G(x)在(1，e)上单调递增， ∴G(x)<G(e)＝0在x∈(1，e)恒成立， ∴mn>e2. 二、分离参数求范围 对一些恒成立或已知零点个数求参数范围的问题，可以通过分离参数构造新函数，来求解参数的取值范围． 例2　已知函数f(x)＝，若1<x<e时，f(x)≤0，求实数a的取值范围． 解　由f(x)≤0，得a(x－1)－≤0， 因为1<x<e，所以a≤. 设g(x)＝， 则g′(x)＝. 令h(x)＝x－1－(2x－1)ln x， 则h′(x)＝1－(2x－1)·－2ln x＝－2ln x－1， 显然h′(x)在(0，＋∞)内单调递减，且h′(1)＝0， 所以当1<x<e时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 则h(x)<h(1)＝0，即g′(x)<0， 所以g(x)在(1，e)内单调递减，从而g(x)>g(e)＝. 所以a≤. 故实数a的取值范围为. 例3　已知函数f(x)＝－x2＋a－.试讨论函数g(x)＝xf(x)在区间(0,1)上零点的个数． 解　g(x)＝－x3＋ax－， 在区间(0,1)上， g(x)＝0可化为a＝x2＋， 设φ(x)＝x2＋，x∈(0,1)， ∴φ′(x)＝2x－＝， 当0<x<时，φ′(x)<0，φ(x)为减函数；[来源:学§科§网Z§X§X§K] 当x>时，φ′(x)>0，φ(x)为增函数． 又φ＝，φ(1)＝， 作出函数y＝φ(x)(0<x<1)和直线y＝a的图象如下． 函数g(x)的零点个数即为直线y＝a和函数y＝φ(x)的交点个数， 故当a<时，g(x)在(0,1)上无零点； 当a＝或a≥时，g(x)在(0,1)上有一个零点； 当<a<时，g(x)在(0,1)上有两个零点． 三、讨论参数求最值 含参数的函数最值或参数范围问题，可以对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围． 例4　设f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中a∈R. (1)若f(x)有极值，求a的取值范围； (2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围． 解　(1)由题意可知，f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a， 且f(x)有极值， 则f′(x)＝0有两个不同的实数根， 故Δ＝4(1＋a)2－16a＝4(1－a)2>0， 解得a≠1，即a∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)由于x≥0，f(x)>0恒成立，则f(0)＝24a>0，即a>0, 由于f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，则 ①当0<a<1时，f(x)在x＝2a处取得极大值，在x＝2处取得极小值， ∵f(2)－f(0)＝4a－，∴当0<a<时，f(2)<f(0)， ∴此时f(x)min＝f(2)＝28a－>0，∴a>. ∴<a<. 当a＝时，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝8>0，满足题意． 当<a<1时，f(2)>f(0)， ∴此时f(x)min＝f(0)＝24a>0， ∴<a<1. ∴a的取值范围是<a<1； ②当a＝1时，f′(x)≥0，即f(x) 在[0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝24>0，则f(x)≥f(0)>0恒成立； ③当a>1时，f(x)在x＝2处取得极大值，在x＝2a处取得极小值， ∴f(2a)－f(0)＝－a3＋4a2， 当1<a<3时，f(2a)>f(0)， ∴此时f(x)min＝f(0)＝24a>0，∴1<a<3. 当a＝3时，f(x)min＝f(2a)＝f(0)＝72>0，满足题意． 当a>3时，f(2a)<f(0)，此时f(x)min＝f(2a)＝－a3＋4a2＋24a>0，∴－3<a<6，∴3<a<6. ∴a的取值范围是1<a<6. 综上所述，a的取值范围是. 四、通过放缩证明不等式 例5　已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)