专题五 第1讲 直线与圆（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第1讲　直线与圆 [考情考向分析]　高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题．其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是C级要求． 热点一　直线、圆的方程 例1　(1)过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________． 答案　x±3y＋4＝0 解析　设AB的中点为D，则CD⊥AB， 设CD＝d，AD＝x，则PA＝AB＝2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5，① 在Rt△PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝CP2＝25，② 由①②解得d2＝. 易知直线l的斜率一定存在，设为k， 则l：y＝k(x＋4)， 圆心C(1,0)到直线l的距离为d＝＝， 解得k2＝，k＝±， 所以直线l的方程为y＝±(x＋4)， 即为x±3y＋4＝0. (2)(2019·苏州市阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________________． 答案　(x－5)2＋(y－2)2＝17 解析　根据题意，圆经过点A(1,3)，B(4,6)，则圆心在线段AB的垂直平分线上， 又点A(1,3)，B(4,6)，则线段AB的垂直平分线方程为x＋y－7＝0， 则由解得即圆心为点(5,2)， 圆的半径r2＝(5－1)2＋(2－3)2＝17， 故圆的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17. 思维升华　求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用． 跟踪演练1　(1)(2019·常熟期中)直线l过点P，且截圆x2＋y2＝4所得的弦长为2，则直线l的方程为________________________． 答案　x＝1或3x＋4y－5＝0 解析　由题意可得，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足弦长为2； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－＝k(x－1)，即2kx－2y－2k＋1＝0. 圆x2＋y2＝4的半径为2，直线l被圆所截的弦长为2， 则圆心到直线的距离d＝＝＝1，解得k＝－. ∴直线l的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋4y－5＝0. ∴直线l的方程为x＝1或3x＋4y－5＝0. (2)若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交所得的弦长为2，则圆的方程为________________________． 答案　(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244 解析　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，[来源:Z|xx|k.Com] 说明圆心在直线x＋2y＝0上，即a＋2b＝0，① 且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.② 又圆与直线x－y＋1＝0相交所得的弦长为2， 故r2－2＝2，③ 由①②③，解得或 所以所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52 或(x－14)2＋(y＋7)2＝244. 热点二　直线与圆、圆与圆的位置关系 例2　(1)(2019·淮安调研)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝10内，直线AB过点P，且与圆C交于A，B两点，若△ABC面积的最大值为5，则实数m的取值范围为________． 答案　(0,1]∪[5,6) 解析　∵点P(3,1)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝10内， ∴(3－m)2＋(1－2)2<10，解得0<m<6. ∵△ABC面积的最大值为5， ∴∠ACB≥，∴∠CAB≤，∴圆心到直线AB的距离d＝sin ∠CAB≤×＝， 又d≤PC＝， ∴≤，解得m≤1或m≥5， 又0<m<6，∴0<m≤1或5≤m<6. (2)(2019·苏州市阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2和点A(0，－)，B(0，)，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，则半径r的取值范围是________． 答案　[2－2,4＋2] 解析　在平面直角坐标系xOy中，点A(0，－)，B(0，)，若在圆上存在点P，使得∠APB＝60°， 可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线即x轴上，半径为×＝2，由垂径定理可得圆心到y轴的距离为1，所以圆心坐标为(－1,0)或(1,0)， 则圆P的方程为(x－1)2＋y2＝22，或(x＋1)2＋y2＝22， 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°， 即两个圆有公共点