专题五 第2讲 圆锥曲线中的基本量（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第2讲　圆锥曲线中的基本量 [考情考向分析]　圆锥曲线中的基本量问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆的有关知识为B级要求，双曲线、抛物线的有关知识为A级要求． 热点一　圆锥曲线的定义和标准方程 例1　(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是________． 答案　－＝1 解析　由题意得＝2，c＝5，再由c2＝a2＋b2得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程是－＝1. (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B.若△AF1B的面积为40，∠F1AB＝60°，则椭圆的方程为_________． 答案　＋＝1 解析　由题意可得△AF1F2为等边三角形， 即有2c＝a，b＝＝c， 可得椭圆方程为 3x2＋4y2＝12c2， 设直线AB的方程为 x＝－y＋c， 代入椭圆方程可得3＋4y2＝12c2， 化为5y2－2cy－9c2＝0， 解得y＝c或y＝－c， 即△AF1B的面积为·2c·|yA－yB|＝c·c＝40， 可得c＝5，所以a＝10，b2＝75. 即椭圆的方程为＋＝1. 思维升华　(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|＜F1F2. (2)注意数形结合，画出合理草图． 跟踪演练1　(1)(2019·盐城调研)已知抛物线y2＝16x上任意一点到双曲线－＝1右焦点的距离比到左准线的距离大1，则a2＝________. 答案　12 解析　抛物线y2＝16x中，p＝8，焦点为F(4,0)，准线方程为x＝－4；根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得到双曲线－＝1的右焦点为F(4,0)，左准线方程为x＝－3，∴c＝4， 且－＝－3，解得a2＝12. (2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线方程为________． 答案　y2＝3x 解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设准线与x轴的交点为G，设BF＝a， 则由已知得BC＝2a， 由抛物线定义，得BD＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中， ∵AE＝AF＝3，AC＝3＋3a， 由2AE＝AC，得6＝3＋3a， 从而得a＝1，FC＝3a＝3. ∴p＝FG＝FC＝， 因此抛物线方程为y2＝3x. 热点二　圆锥曲线的几何性质 例2　(1)(2019·江苏省苏州市阳光指标调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为________． 答案　 解析　在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF， 可得－·＝－1，可得b2＝ac＝a2－c2， 可得e2＋e－1＝0，e∈(0,1)，解得e＝. (2)(2019·淮安测试)已知椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线N的方程为－＝1(m>0，n>0)，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为________． 答案　＋1 解析　椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线N的方程为－＝1(m>0，n>0)， 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标为F2(c,0)，F1(－c,0)，正六边形的一个顶点为 A. AF1＋AF2 ＝＋＝2a， 因为c＋c＝2a，所以椭圆离心率e1＝＝－1. 同时，双曲线的一条渐近线的斜率为，即＝， 可得双曲线的离心率为e2＝＝2. 所以椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为－1＋2＝＋1. 思维升华　解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等． 跟踪演练2　(1)(2019·盐城期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN＝F1F2，则该椭圆的离心率为________． 答案　－ 解析　∵以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN＝F1F2，P(0，c)，F2(c,0