专题五 第3讲 解析几何的综合问题（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

第3讲　解析几何的综合问题 [考情考向分析]　高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求． 热点一　最值、范围问题[来源:Z*xx*k.Com] 例1　(2019·全国大联考(江苏卷))已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过其左焦点F1(－c，0)的直线交M于A，C两点，且弦AC的中点为E(－2,1)． (1)求椭圆M的方程； (2)设BD是椭圆M的另一条弦，且BD与AC垂直，求以A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积的最大值，并求出此时直线BD的方程． 解　(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由中点坐标公式可得x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2. 将A，C的坐标分别代入M的方程中得＋＝1，＋＝1.[来源:学#科#网Z#X#X#K] 两式相减，化简得＝. 又A，C，E，F1四点共线， 所以＝kAC， 所以＝＝，即a2＝2b2(c－2)． 又＝e2＝，即a2＝2c2， 由解得c＝3， 所以a2＝18，b2＝9， 故椭圆M的方程为＋＝1. (2)由(1)知F1(－3,0)，则kAC＝＝1， 所以直线AC的方程为y＝x＋3， 由消去y整理得x2＋4x＝0， 解得x＝0或x＝－4， 可得A(0,3)，C(－4，－1)， 所以AC＝4. 又因为BD⊥AC，则kBD＝－1， 设直线BD的方程为y＝－x＋m， 由消去y整理得3x2－4mx＋2m2－18＝0. 因为直线BD与椭圆M交于两点， 所以Δ＝16m2－12×(2m2－18)＝8×(－m2＋27)>0， 解得－3<m<3. 设B(x3，y3)，D(x4，y4)， x3＝，x4＝. 所以BD＝＝|x3－x4|＝·. 将A(0,3)，C(－4，－1)的坐标分别代入y＝－x＋m中，对应的m分别为3，－5， 由弦BD与弦AC相交可得－5<m<3，满足－3<m<3. 所以四边形ABCD的面积S＝BD·AC ＝≤8(当且仅当m＝0时取等号)． 所以四边形ABCD的面积的最大值为8，此时直线BD的方程为x＋y＝0. 思维升华　处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值． (2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除以分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)． 跟踪演练1　如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，两条准线间的距离为8，点F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，过动点P的直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D. (1)求椭圆E的标准方程；[来源:学§科§网Z§X§X§K] (2)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，若AB＋CD＝6，求k＋k的最小值． 解　(1)由题意得 解得所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)因为直线AB的斜率为k1，且过点F1(－2,0)， 所以直线AB的方程为y＝k1(x＋2)(k1≠0)， 将直线AB的方程代入＋＝1， 整理得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－8＝0， 所以Δ＝64k－4(2k＋1)(8k－8)＝32k＋32>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝， 所以AB＝ ＝＝|x1－x2| ＝4·， 同理可得CD＝4·. 因为AB＋CD＝6， 所以4·＋4·＝6， 即2＝3， 去分母得2(k＋1)(2k＋1)＋2(k＋1)(2k＋1) ＝3(2k＋1)(2k＋1)， 化简得kk＝，即|k1k2|＝， 所以k＋k≥2|k1k2|＝1， 注意到k1≠k2， 所以当且仅当k1，k2互为相反数，且|k1|＝|k2|＝时，k＋k取最小值1. 热点二　定点问题 例2　在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点F1(－,0)，F2(，0)，Q为平面上的动点，且F2Q＝4，线段F1Q的中垂线与线段F2Q交于点P. (1)求PF1＋PF2的值，并求动点P的轨迹E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于A，B两点，且存在点D(4,0)(其中A，B，D不共线)，使得∠ADO＝∠BDO，证明：直线l过定点． (1)解　由已知有F1(－，0)，F2(，0)，F2Q＝4， 根据PF1＝PQ， ∴PF1＋PF2＝PQ＋PF2＝QF2＝4， 故点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，即c＝，a＝2，∴b＝1， 故点P的轨迹E的方程为＋y2＝1. (2)证明　令A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由A，B，D不共线，知l的斜率不