专题五 高考提能 五大技巧，简化解析几何运算（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

五大技巧，简化解析几何运算 解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需烦杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一　利用定义，回归本质 例1　(1)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且AF＝4，则PA＋PO的最小值是__________． 答案　2 解析　如图，设A在x轴上方，可求A(－2，4)，再求A(－2，4)关于抛物线的准线x＝2的对称点为A′(6，4)，因此PA＋PO＝PA′＋PO，当O，P，A′三点共线时PA＋PO取到最小值．即min＝A′O＝＝2. (2)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________． 答案　 解析　由已知，得F1(－，0)，F2(，0)， 设双曲线C2的实半轴长为a， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得解得a2＝2， 故a＝.所以双曲线C2的离心率e＝＝. 跟踪演练1　 (1)已知椭圆＋＝1内有两点A(1,3)，B(3,0)，P为椭圆上一点，则PA＋PB的最大值为______． 答案　15 解析　由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点， 设椭圆的左焦点为B′，由椭圆的定义可知PB＝2a－PB′＝10－PB′， 则PA＋PB＝10＋(PA－PB′)， 很明显，(PA－PB′)max＝AB′ ＝＝5， 据此可得PA＋PB的最大值为10＋5＝15. (2)抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为______． 答案　 解析　设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义， 知PF＝xP＋m，又PA2＝(xP＋m)2＋y ＝(xP＋m)2＋4mxP， 则2＝＝≥ ＝(当且仅当xP＝m时取等号)， 所以≥，所以的最小值为. 技巧二　设而不求，整体代换 例2　(1)已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是_____________________． 答案　6x－5y－28＝0 解析　由4x2＋5y2＝80得＋＝1， ∴椭圆上顶点为B(0,4)，右焦点F(2,0)为△BMN的重心，故线段MN的中点为C(3，－2)． 直线l的斜率存在，设为k，又C(3，－2)在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两个交点． ∵点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上， ∴ ∴4(x1－x2)(x1＋x2)＋5(y1－y2)(y1＋y2)＝0，[来源:学科网] ∴k＝＝－·＝－·＝. ∴直线l的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0. (2)设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan 的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________． 答案　 解析　由题意，得A1，A2两点关于原点对称， 设A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)， 则＋＝1，＋＝1， 即y＝(4－x)，y＝(4－x)， 两式相减整理，得 ＝－×＝－×. 因为直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤≤－1， 所以－2≤－·≤－1，解得≤≤. 跟踪演练2　已知椭圆M: ＋＝1(a>b>0)的离心率为，过其左焦点F(－c,0)的直线交椭圆M于A，B两点，若弦AB的中点为D(－4,2)，则椭圆M的方程是________． 答案　＋＝1 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由中点坐标公式得x1＋x2＝－8，y1＋y2＝4. 将A，B的坐标分别代入M的方程中得 两式相减，化简得＝， 又因为A，B，D，F四点共线，所以＝＝，所以a2＝b2(c－4)． 由解得[来源:Z|xx|k.Com] 所以椭圆M的方程为＋＝1. 技巧三　根与系数的关系，化繁为简 例3　如图，已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形． (1)求椭圆Γ的方程； (2)直线l与椭圆Γ在y轴的右侧交于点P，Q，以PQ为直径的圆经过点F2，线段PQ的垂直平分线交x轴于A点，且＝，求直线l的方程． 解　(1)因为椭圆C的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b＝c， 因为S＝a2＝2，所以a＝，b＝c＝1， 故椭圆Γ的方程为＋y2＝1. (2)