专题五 高考提能 圆的第二定义——阿波罗尼斯圆（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(江苏专版)

圆的第二定义——阿波罗尼斯圆 一、问题背景 苏教版《数学必修2》P112第12题： 已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线． 二、阿波罗尼斯圆 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m,0)，B(m,0)． 又设P(x，y)，则由PA＝λPB得＝λ， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)． 当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 当λ＞1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆． 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理． 三、阿波罗尼斯圆的性质 1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点． 2．直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角． 3.＝. 4．CM⊥CN. 5．当λ＞1时，点B在圆O内，点A在圆O外； 当0＜λ＜1时，点A在圆O内，点B在圆O外． 6．若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B. 7．若过点B作圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF. 四、范例欣赏[来源:学.科.网Z.X.X.K] 例1　设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹． 解　设动点P的坐标为(x，y)， 由＝a(a＞0)，得＝a. 化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0. 当a≠1时，得x2＋x＋c2＋y2＝0，整理得2＋y2＝2. 当a＝1时，化简得x＝0. 所以当a≠1时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 当a＝1时，P点的轨迹为y轴． 例2　如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解　如图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则O1(－2,0)，O2(2,0)， 由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2， 因为两圆的半径均为1， 所以PO－1＝2(PO－1)， 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]． 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.[来源:学*科*网] 例3　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 解　(1)联立得圆心为C(3,2)． 切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3. 圆心C到切线的距离d＝＝r＝1， 得k＝0或k＝－.[来源:Zxxk.Com] 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)设点M(x，y)，由MA＝2MO，知 ＝2， 化简得x2＋(y＋1)2＝4. 即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D. 又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切． 故1≤CD≤3，其中CD＝. 解得0≤a≤. 例4　在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由． 解　假设在x轴正半轴上存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数，设P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2＞x1＞0. 即＝对满足x2＋y2＝4的任何实数对(x，y)恒成立， 整理得，2x(4x1－x2)＋x－4x＝3(x2＋y2)，将x2＋y2＝4代入得， 2x(4x1－x2)＋x－4x＝12，这个式子对任意x∈[－2,2]恒成立， 所以一定有因为x2＞x1＞0， 所以解得x1＝1，x2＝4. 所以在x轴正半轴上存在两个定点A(1,0)，B(4,0)，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数. 五、跟踪演练 1．满足条件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值是________． 答案　2 解