人教B版高中数学选修2-2 第一章1.3导数的应用 课件 (3份打包)

1.3 导数的应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性 【提出问题】 在必修一中我们知道，对于函数y＝f(x)在区间(a,b)上有定义，在区间(a,b)上任取x1，x2，设⊿x=x2-x1， 如果⊿x=x2-x1>0时，都有⊿y= f(x2)- f(x1)<0，则称函数y＝f(x)在区间(a,b)上为减函数。 如果⊿x=x2-x1>0时，都有⊿y= f(x2)- f(x1)>0，则称函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数； 【提出问题】 实际上，⊿x=x2-x1>0时，都有⊿y= f(x2)- f(x1)>0，等价于 从函数图象上看， 表示 两点割线的斜率。 因此，如果函数在区间(a,b)上的图象上任意两点 割线的斜率都大于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数 【提出问题】 我们知道，在区间(a,b)上每一点的导数的几何意义就是在区间(a,b)上每一点的切线斜率。 所以，我们进一步猜想：如果函数在区间(a,b)上每一点的导数都大于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数；如果函数在区间(a,b)上每一点的导数都小于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为减函数。 当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。 所以，我们猜想如果函数在区间(a,b)上每一点的切线斜率都大于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数。 【获得新知】 用函数导数判断函数单调性的法则： 由于现在知识有限，等学习微积分后我们就可以证明了。 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， ①如果在区间(a，b)内f′(x)>0，那么函数f(x)在(a，b)内为增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； ②如果在区间(a，b)内f′(x)<0，那么函数f(x)在(a，b)内为减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间。 【概念领悟】 （1）利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件． 比如，函数 在 上是增函数， 在x=0时， 【概念领悟】 （2）在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)=0在区间(a，b)上只有有限个解。 （3）如果f(x)在区间(a，b)内是增函数，那么f′(x)≥0在(a，b)上恒成立； （4）如果f(x)在区间(a，b)内是减函数，那么f′(x)≤0在(a，b)上恒成立． （5）在区间(a，b)内，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内是常数函数． 【经典例题】 例1　求函数f(x)＝x3－3x的单调区间。 解：因为f(x)＝x3－3x的定义域为R 而f′(x)＝3x2－3， 当f′(x)>0时，得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当f′(x)<0时，得x∈(－1,1) 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． 【规律技巧】定义域是全体实数时，求函数f(x)的单调区间应遵循下列步骤： 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f′(x)； 第三步：解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0； 第四步：写出函数的单调区间． 【经典例题】 例2　求函数 的单调区间。 【经典例题】 定义域不是全体实数时，求函数单调区间的步骤和方法： 第四步：根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． 第三步：穿根法判断f′(x)的符号。穿根时，把函数f(x)的间断点(即包括f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间． 第二步：求f′(x)； 第一步：确定函数f(x)的定义域； 【规律技巧】 【经典例题】 例3　求函数 的单调区间． 【规律技巧】如果函数解析式中含有参数，在判断导函数符号时往往要对参数取值进行讨论。 【总结提炼】 这节内容我们函数单调性定义开始研究，通过数形结合的方法 抽象概括得出函数的单调性与函数的导函数的关系。利用导数 判断函数的单调性比用定义法判断函数的单调性要简洁，这种 方法要熟练掌握。 $$1.3 导数的应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值 【提出问题】 在群山当中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。同样各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但他却是附近的最低点，群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部。 那么