人教B版高中数学选修2-2 第一章1.3.2利用导数研究函数的极值-教案

1.3 导数的应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值 【提出问题】 参加社会实践活动-春游爬山我们发现：在群山当中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。同样各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但他却是附近的最低点，群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部。 那么函数的极值又怎么定义呢？ 【抽象概括】 (1)极大值与极大值点： 已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 f(x)<f(x0)， 则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点． (2)极小值与极小值点： 如果在x0 附近都有 f(x)>f(x0)， 则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点． (3)极值与极值点： 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． (4)最值 函数的最大值是函数在指定区间的最大的值。 函数的最小值是函数在指定区间的最小的值。 【知识领悟】 （1）函数的极值与最值不同，极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言，是函数的整体性质。 （2）函数的极大值与极小值之间没有必然联系，极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，但相邻的极大值比极小值大． （3）在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在。 （4）函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标． （5）极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点． （6）若函数在某区间内有极值，则f(x)在该区间上一定不是单调函数，即单调函数没有极值． 函数的极值与函数的导数有什么关系？ 【解决问题】 观察上图，我们发现曲线y＝f(x)在极值点x1，x2，x3，x4处的切线与x轴平行。即在这些极值点处， ，，， 我们得到如下结论：设是y＝f(x)的极值点，且f(x)在是可导的，则必有 考查在极大值点和极小值点附近函数及其导数的取值情况： ①如果在x0左侧f′(x)>0，f(x)是递增的，右侧f′(x)<0，f(x)是递减的，那么f(x0)是f(x)的极大值； ②如果在x0左