人教B版高中数学选修2-2 第一章1.3.1利用导数判断函数的单调性-教案

1.3 导数的应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性 【提出问题】 在必修一中我们知道，对于函数y＝f(x)在区间(a,b)上有定义，在区间(a,b)上任取x1，x2，设⊿x=x2-x1， 如果⊿x=x2-x1>0时，都有⊿y= f(x2)- f(x1)>0，则称函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数； 如果⊿x=x2-x1>0时，都有⊿y= f(x2)- f(x1)<0，则称函数y＝f(x)在区间(a,b)上为减函数。 我们不妨先看增函数的情况。 实际上，⊿x=x2-x1>0时，都有⊿y= f(x2)- f(x1)>0，等价于 从函数图象上看，表示两点割线的斜率。 因此，如果函数在区间(a,b)上的图象上任意两点割线的斜率都大于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数。 当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。 所以，我们猜想如果函数在区间(a,b)上每一点的切线斜率都大于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数。 我们知道，在区间(a,b)上每一点的导数的几何意义就是在区间(a,b)上每一点的切线斜率。 所以，我们进一步猜想：如果函数在区间(a,b)上每一点的导数都大于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为增函数；如果函数在区间(a,b)上每一点的导数都小于0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)上为减函数。 【获得新知】 用函数导数判断函数单调性的法则： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， ①如果在区间(a，b)内f′(x)>0，那么函数f(x)在(a，b)内为增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； ②如果在区间(a，b)内f′(x)<0，那么函数f(x)在(a，b)内为减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间。 由于现在知识有限，等学习微积分后我们就可以证明了。 【概念领悟】 （1）利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件． 比如，函数在上是增函数，，在x=0时，。 （2）在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)=0在区间(a，b)上只