专题09 数列-2020年高考数学(理)必考点强化辅导【学科网名师堂】

专题09 数列 【知识再现】 1.数列的第n项与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为 ). 2.等差数列的通项公式 ； 其前n项和公式为 . 3.等比数列的通项公式 ； 其前n项的和公式为 或 . 4.等比差数列:的通项公式为 ； 其前n项和公式为 . 【易混易错】 易错点1．已知 求 时, 易忽略 致错． 【例1】已知数列 的前项和为 ＝ n＋1，求n2＋的通项公式． 【错解】an＝Sn－Sn－1＝ (n－1)－1＝n，所以(n－1)2－n＋1－n2＋． 【错因】 成立的条件是 ，当 要单独验证． 【正解】当n＝1时，a1＝S1＝＋1＝2；＋ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－1)－1＝n.(n－1)2－n＋1－n2＋ 当n＝1时不符合上式，所以 ． 易错点2．利用等比数列前n项和公式时，忽略公比 致错． 【例2】求数列 的前n项和． 【错解】由于 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 两式相减得 = . 【错因】上述解法只适合 的情形． 事实上，当 时， EMBED Equation.DSMT4 【正解】 ． 易错点3．忽略数列与函数的区别致错． 【例3】已知函数 ，数列 满足 （ ），且数列 是单调递增数列，则a的取值范围是_______． 【错解】由题有 ，得 ． 【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不能直接将 代入到分段函数的两个部分进行比较． 【正解】由题有 ，得 ． 【例4】 已知数列 在 上是递增数列，则实数 的取值范围是_______． 【错解】依题意， ，解得 ，所以 的取值范围是 ． 【错因】数列的定义域是全体的正整数，不是实数，所以不能按照函数的处理办法． 【正解】依题意， ，即 ，故 ． 易错点4．数列的定义域是全体的正整数． 【例5】已知数列 ，其前 项和为 ，则 的最大值是________． 【错解】由题意， ， ，当 时， 的最大，最大值为 ． 【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数． 【正解】方法1：由题意， ， ，当 时，离二次函数对称轴最近，所以 的最大值为 EMBED Equation.DSMT4 ． 方法2：令 ，解得 ，即 前4项为正数，后面项均为负数，所以 的最大值为 EMBED Equation.DSMT4 ． 易错点5．乱用结论致错． 【例6】已知等差数列 的前m项，前2m项，前3m项的和分别为 ， ，求 ． 【错解】因为 ， ， ，所以 ． 【错因】以为 为等差数列，则 也是为等差数列致错． 【正解】设数列的公差为 ，则 ， ， ， ， 所以 是公差为 的等差数列，所以 ． 即 ， ． 易错点6．乱设常量致错． 【例7】数列 与 的前项和分别为 ，且 ，则 _______ 【错解】 ，则 ， ，所以 ． 【错因】从 可知，比值 EMBED Equation.DSMT4 = : 随着项数的变化而变化，不能设为常数，这里忽略了项数的可变性而致错． 【正解】设 ，则 ， ，其中 ， EMBED Equation.DSMT4 ．所以 4:3． 易错点7．用归纳代替证明致错． 【例8】【四川高考理数改编】已知数列{ }的首项为1， 为数列 的前n项和， ，其中q>0， ，若 成等差数列，求 的通项公式； 【错解】依题意 ，解得 ，因为 ，所以 是一个等比数列，所以 ． 【错因】由前3项成等比数列，就认为数列 为等比数列． 【正解】由已知， 两式相减得到 . 又由 得到 ，故 对所有 都成立. 所以，数列 是首项为1，公比为q的等比数列. 从而 . 由 成等比数列，可得 ，即 ，则 ， 由已知, ，故 . 所以 . 易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列． 【例9】在等差数列 中， ，记 ，求数列 的前30项和. 【错解】依题意， 也是等差数列， ， ， 所以 ． 【错因】这里易错点是 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的 的正负号进行讨论，当 时， 时， 【正解】 =755． 易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错． 【例10】已知数列{an}满足a1＝1， ，求 的通项公式． 【错解】 ， 是以2为公比的等比数列 EMBED Equation.DSMT4 ． 【错因】新数列的首项是 ，不是 ． 【正解】 ， 是以 为首项，2为公比的等比数列 即　 【即时检测】 1.已知数列{an}是1为首项，2为公差的等差数列，{bn}是1为首项，2为公比的等比数列，设 ， ，则当 时，n的最大值是( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2.已知数列{an}的前n项和为Sn， ，当 时， ，则 的值为