专题06 不等式-2020年高考数学(理)必考点强化辅导【学科网名师堂】

专题06 不等式 【知识再现】 1.常用不等式： （1）(当且仅当a＝b时取“=”号)， 变形：(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）(当且仅当a＝b时取“=”号)， 变形：(当且仅当a＝b时取“=”号)． （3）（当且仅当时取“=”） （4）柯西不等式 设，，…，，，，…，∈R,则,当且仅当=0（=1,2，…，）或存在一个实数，使得=（=1,2，…，）时，等号成立. （5）. 2.一元二次不等式解法 若对应两根为，且＞0，则＞0； ＜0 3.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有. 或. ( ＜）或或 4.指数不等式与对数不等式 (1)当时, ; . (2)当时, ; 5.线性规划目标函数常用的转化公式： ① 与直线的截距相关联. ② ③ 表示 到 两点距离的平方； ④ 表示 到直线 的距离的 倍. 【易混易错】 易错点1．随意消项致误 【例1】解不等式; ． 【错解】原不等式可化为： ，因为 ，所以 ，所以 ，故原不等式的解集为： ． 【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当 时，原不等式亦成立． 【正解】原不等式可化为： 或 ，解得 或 或 ． 所以原不等式的解集为： 易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误 【例2】解不等式; ． 【错解】原不等式可化为： ，解得 ，所以原不等式的解集为 ． 【错因】没有考虑分母不能为0 【正解】原不等式可化为： ，解得 ，所以原不等式的解集为 ． 易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误 【例3】解不等式; ． 【错解】不等式两边同乘以 得： ，解得 ，所以原不等式的解集为 ． 【错因】两边同乘以 ，导致错误 【正解】原不等式可化为： ，解得 或 ，所以原不等式的解集为 ． 易错点4．漏端点致误 【例4】集合 ，且 ，则实数的取值范围是______ 【错解】 ，若使 ，需满足 ． 解得 ，所以实数a的取值范围是 ． 【错因】忽视了集合 的两个端点值-1和2，其实当 时 ，满足 ；当 时，即 时也满足 ． 【正解】 若使 ，需满足 ，解得 ，所以实数a的取值范围是 ． 易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例5】求函数 的值域． 【错解】因为 ，所以函数 的值域为 ． 【错因】没有考虑为负数的情形． 【正解】由题意，函数 的定义域为 ． 当 时， ，当 时取得等号； 当 时， ，当 时取得等号． 综上，求函数 的值域是 ． 易错点6．忽视基本不等式取等的条件 【例6】求函数 的最小值． 【错解】函数 ，所以函数的最小值为2． 【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即 才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的． 【正解】 ， 令 ， 在 时是单调递增的， ． 故函数的最小值是 ． 易错点7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立 【例7】已知两个正实数 ，满足 ，求 的最小值． 【错解】由已知得 ， ，所以 最小值是2． 【错因】两次使用基本不等式，其中 等号成立必须满足 ，而 EMBED Equation.DSMT4 的等号成立时，必须有 ，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的． 【正解】 ，当且仅当 且 ， 即 时取等号， ，即 最小值为 ． 【即时检测】 1.已知 ，不等式 的解集是(－1,3)，若对于任意 ，不等式 恒成立，则t的取值范围（ ） A. (－∞,2] B. (－∞,－2] C. (－∞,－4] D. (－∞,4] 2.若a，b都是正数，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3.已知正数x，y满足 ，则 的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 4.若直线 被圆 截得弦长为4，则 的最小值是（ ） A. 9 B. 4 C. D. 5.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且 ，则 的最小值为（ ）． A. B. 2 C. D. 6.已知 ，且 ，若对任意的正数x，y，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. 或 B. 或 C. D. 7.设实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______ ． 8.若x，y为正实数，则 的最大值为_______． 9.已知函数 与直线 相切于点 ，若对任意 ，不等式 恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为________ 10.近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系式: 为常数.已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件. （1）求实数a的值； （2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考