人教B版高中数学选修2-2 第一章1.2导数的运算 课件 (3份打包)

1.2 导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导 【提出问题】 解：因为⊿y=f(x+⊿x)-f(x)= (x+⊿x)2-x2= (2x+⊿x) ⊿x 所以 因为 所以f(x)的导数为2x。 已知函数f(x)=x2,求f(x)的导数。 【提出问题】 第一步：求函数的增量 前面我们总结了求函数的导数的步骤： 第二步：求函数的平均变化率 第三步：取极限，得到函数的导数 【提出问题】 下面我们求常数函数和幂函数的导数。 【获得新知】 即C’=0 （1）常数函数的导数 设y=f(x)≡C，C是常数 【获得新知】 （2）函数y=x的导数 即x’=1 设y=f(x)= x 【获得新知】 即（x2）’=2x （3）函数y= x2的导数 由前面推导可知f(x)= x2的导数为2x 【获得新知】 设y=f(x)= x3 （4）函数y= x3的导数 即（x3）’=3 x2 【获得新知】 的导数 即 设y=f(x)= （6）函数 【解决问题】 比较幂函数的求导结果： 现在，我们要证明它还有困难，只要求会使用它求幂函数的导数就可以了。 事实上，可以证明幂函数的求导公式，对任意实数幂都成立。 即 【经典例题】 。 【规律技巧】对于简单函数的导数，关键是对原函数解析式的合理转化，把不能直接利用导数公式的函数解析式转化为可以利用导数公式求导的解析式. 所以函数 的导数为 解：因为 的导数 例1．求函数 【经典例题】 。 【规律技巧】利用导数求曲线的切线方程，关键是求切线的斜率。利用导数公式求函数的导数要比利用导数的定义求函数的导数快捷简便，所以要求对常用函数的导数公式理解并加以记忆 在点（1,1）的切线方程为2x-3y+1=0 由点斜式得，曲线 在(1,1)处的切线斜率为 所以曲线 解：因为 在(1,1)处的切线方程． 例2. 求曲线 【经典例题】 【规律技巧】过曲线外一点作曲线的切线不一定只有两条。 这一点我们要特别注意，走出误区。 解得 因为切线过(1,-2)和(x0，y0)，所以 解：因为点(1,-2)不在曲线y＝2x3-3x上，所以(1,-2)不是切点 设切点坐标为(x0，y0)， y′＝6x-3 所以在(x0，y0)的切线斜率为6 x0-3 例3：求曲线y＝2x3-3x过点(1,-2)的切线的切点的横坐标． 【总结提炼】 这节内容我们用定义的方法求出常数函数和幂函数的导数公式， 对这些公式要掌握记忆技巧，熟练应用。 $$1.2 导数的运算 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用 【提出问题】 那么，其它的基本初等函数的导数是怎样的呢？ 即 我们证明了幂函数的求导公式。 【获得新知】 即(sinx)’=cosx （1）设y=f(x)=sinx， 【获得新知】 证明中还用到了和差化积公式： 在证明过程中，用到了微积分中的重要极限： 【获得新知】 即(cosx)’=-sinx 设y=f(x)= cosx 【获得新知】 证明中还用到了和差化积公式： 在证明过程中，用到了微积分中的重要极限： 【解决问题】 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y＝ax(a>0，a≠1，x>0) y′＝axln a y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y′＝ y＝sin x y′＝cosx y＝cos x y＝－sinx 。 为了方便并减少重复的劳动，数学工作者制作出常用函数的求导公式表，供大家使用。这里仅列出基本初等函数的求导公式表 现在，有些函数的导数我们要证明它还有困难，只要求会使用它求函数的导数就可以了。 【经典例题】 。 【规律技巧】求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误． 所以函数y＝log5x的导数为 解：因为 例1．求函数y＝log5x的导数。 【经典例题】 例2. 求曲线 在(1,sin1)处的切线方程． 解：因为 在点(1,sin1)的切线方程为cos1∙x-y+sin1-cos1=0 【规律技巧】利用导数公式求切线方程的步骤: 如果所给点在曲线y=f(x)上 第一步：利用导数公式求f′(x0)； 第二步：由点斜式写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，并整理成一般式． 如果所给点不在曲线y=f(x)上，则先设切点坐标，利用斜率相等建立方程得到切点坐标，再求切线方程。 所以曲线 在(1,sin1)处的切线斜率为cos1 由点斜式得，曲线 【经典例题】 【规律技巧】过曲线外一点作曲线的切线不一定都有两条。本题中，过曲线y＝ex外一点（1,0）就只有一条