人教B版高中数学选修2-2 第一章1.2.3导数的四则运算法则-教案

1.2 导数的运算 1.2.3 导数的四则运算法则 【提出问题】 我们由定义已经求出了基本初等函数的导数。 (1)(c)′＝0(c为常数)； (2)(xn)′＝nxn－1(n为有理数)； (3)(sinx)′＝cosx； (4)(cosx)′＝－sinx； (5)(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)； (6)(ex)′＝ex； (7)(logax)′＝(a>0且a≠1)； (8)(lnx)′＝. 初等函数是由基本初等函数经过四则运算、乘方、开方和各种复合运算构成。 因此，初等函数的导数可以经过基本初等函数导数的运算而求得。怎么求呢？我们来解决这个问题。 【获得新知】 （1）函数和（或差）的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的，求f(x)g(x)的导数。 设，则 所以 所以 即 同理可证： 所以 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）。 这个法则可推广到任意有限个函数，即 （2）函数积的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的，求f(x) g(x)的导数。 设，则 所以 所以 即 所以 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数。 由上述法则可以得到 即，常数与函数的导数，等于常数乘以函数的导数。 （3）函数商的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的，且，求的导数。 设，则 所以 所以 即 所以 特别地，当时， （4）复合函数的求导法则 对于函数y＝f[φ(x)]，令u＝φ(x)，若y＝f(u)是中间变量u的函数，u＝φ(x)是自变量x的函数，则函数y＝f[φ(x)]是自变量x的复合函数． 设y＝φ(x)在点x可导，u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处也可导，则复合函数y＝f[φ(x)]在x处可导， y′x＝y′u·u′x， 或f′[φ(x)]＝f′(u)·φ′(x). 【经典例题】 例1．求函数的导数。 解：因为 所以函数的导数为。 【规律技巧】必须熟记常见的求导公式并熟练运用，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则． 例2．求函数的导数。 解：y＝cos(4x2)是由y＝cosu，u＝4x2复合而成， 因为y′u＝－sinu，u′x＝8x， 所以y′＝y′u·u′x＝(－sinu)·(8x)＝(－8x)sin(4x2)． 所以函数的导数为。 【规律技巧