人教版八年级下册数学专题练：第17章 专题7：利用勾股定理求最值 (5份打包)

SHAPE \* MERGEFORMAT 【例1】 在平面直角坐标系中，有A（1，1）、B（3，2）两点，点P是x轴上一动点，则PA+PB最小值为 。 【例2】 如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少? SHAPE \* MERGEFORMAT 训练1. 如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W． 训练2. 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3) 训练3. 如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____. 训练4. 如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值． 训练5. 数形结合是重要的数学方法，我们利用数形结合可以巧妙的解决很多数学问题 （1）如图，长方形ABCD的长BC=8，宽AB=6， ①点P是长方形内一点，则PA+PC的最小值为 ； ②点P是边AD上一点则PB+PC的最小值为 。 （2）①已知a+b=6,m+n=8,且 ，则s的最小值为 。 ②已知x为正数，且 ，求p的最小值 （3）已知 （a、b为正数）,求M的最小值 八（下）专题 利用勾股定理求最值（一） 典型例题 巩固练习 八年级·春季·专题·学生版 $$ SHAPE \* MERGEFORMAT 【例1】 在平面直角坐标系中，有A（1，1）、B（3，2）两点，点P是x轴上一动点，则PA+PB最小值为 。 【解析】 ∵A（1，1），∴点A关于x轴对称点A′（1，-1），连接A′B交x轴于P， 则此时，PA+PB=A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，∴A′B= ，∴PA+PB最小值为 ， 【例2】 如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少? 【解析】 如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度． 在图②中，由勾股定理，得． 在图③中，由勾股定理，得． 因为130＞100，所以图③中的AB的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10． SHAPE \* MERGEFORMAT 训练1. 如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W． 【解析】 延长AC到点M，使CM=AC；连接BM交CD于点P，点P就是所选择的位置； 在Rt△BMN中，BN=3+1=4，MN=3∴MB=5（千米），∴最短路线AP+BP=MB=5千米， 最省的铺设管道的费用为W=5×20000=100000（元），当水厂在C点时，水管长度=AC+AB=1+ ， ∴最省的铺设管道的费用为W=（1+ ）×20000≈92200（元）， ∵92200＜100000，答：最省的铺设管道的费用是92200元． 训练2. 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3) 【解析】 把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长， BC=20，AC为底面半圆弧长，AC=5π≈15，所以AB=25．则蚂蚁爬的最短路线长约为25， 训练3. 如图，长方体的底面边