专题08 立体几何与空间向量-2020年高考数学(理)必考点强化辅导【学科网名师堂】

专题08 立体几何与空间向量 【知识再现】 1．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点，依据平行线定义：在同一平面内没有公共点的两直线； （2）转化为二直线同与第三条直线平行，依据公理4：平行同一直线的两条直线平行； （3）转化为线面平行，依据线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行； （4）转化为线面垂直，依据线面垂直得性质定理：垂直同一平面的两直线平行； （5）转化为面面平行，依据面面平行的性质定理：两个平面同时和第三个平面相交，则交线平行. （6）向量法：证明两直线的方向向量共线. 2．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点，依据线面平行定义：若一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行； （2）转化为线线平行，依据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行； （3）转化为面面平行，依据面面平行的性质定理：若两个平面平行，则一个平面的任意一条直线都和另一平面平行. （4）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点，依据面面平行的定义：若两个平面没有公共点，则称这两个平面平行； （2）转化为线面平行，依据面面平行的判定定:1：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.； （3）通过线线平行证明，依据面面平行的判定定理2：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内两直线平行，那么这两个平面平行.； （3）转化为线面垂直，依据线面垂直得性质：垂直于同一直线的两个平面平行. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直，依据：一条直线与两平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直； （2）转化为线面垂直，依据线面垂直的定义：一直线与与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直； （3）向量法：证明两直线的方向向量垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）定义法：一直线与与一平面垂直这条直线与平面内任意直线都垂直； （2）判定定理法：若一条直线与平面内两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行，依据线面垂直的性质：若两条平行线的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面，依据线面垂直的性质：若一条直线垂直两个平面的一个，则与另一个平面也垂直； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直，依据面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直另一个平面. （6）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）定义法：若两个平面所成的二面角的平面角是直角，则称这两个平面垂直； （2）判定定理法：若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：＋=＋． (2)加法结合律：(＋)＋=＋(＋)． (3)数乘分配律：λ(＋)=λ＋λ． 8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 9.共线向量定理 对空间任意两个向量、 (≠ )，∥存在实数λ使=λ． 三点共线. 、共线且不共线且不共线. 10.共面向量定理 向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使． 推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使， 或对空间任一定点O，有序实数对，使. 11.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面． 四点共面与、共面 （平面ABC）. 12.空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，，，使＝． 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使. 13.射影公式 已知向量=和轴，是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则 〈，〉= 14.向量的直角坐标运算 设＝，＝则 (1) ＋＝； (2) －＝； (3)λ＝ (λ∈R)； (4) ·＝； 15.设A，B，则 = . 16．空间的线线平行或垂直 设，，则； . 17.夹角公式 设＝，＝，则 cos〈，〉=. 推论 ，此即三维柯西不等式. 18．异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫异面直线，特征：既不相交也