板块一 专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

第2讲　三角恒等变换与解三角形(小题) 热点一　三角恒等变换 1.三角求值“三大类型”： “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略”： (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化：一般是切化弦. 例1　(1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　因为α，β都是锐角，且cos α＝<， 所以<α<， 又sin(α＋β)＝，而<<， 所以<α＋β<， 所以cos(α＋β)＝－＝－， sin α＝＝， cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝. (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B.　C. D. 答案　C 解析　因为α，β均为锐角， 所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. (3)－＋64sin220°＝________. 答案　32 解析　因为－＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝32cos 40°， 所以－＋64sin220°＝32cos 40°＋64×(1－cos 40°)＝32. 跟踪演练1　(1)已知sin＝，则cos等于(　　) A. B.　C.－ D.－ 答案　D 解析　cos＝cos＝cos， ∵sin＝cos＝， ∴cos＝cos＝2cos2－1＝－1＝－. (2)(2019·吕梁模拟)已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　) A.α＋β＝ B.α－β＝ C.α＋β＝ D.α＋2β＝ 答案　B 解析　tan α＝＝＝＝＝＝tan，又因为α∈，β∈，所以α＝＋β，即α－β＝. 热点二　利用正弦、余弦定理解三角形 1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 例2　(1)(2019·青岛模拟)已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A为最小角，且a＝，b＝2，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　cos A＝⇒sin A＝＝， 由余弦定理得a2＝c2＋b2－2bccos A， 即3＝c2＋4－， 解得c＝或c＝2， ∵A为最小角，∴c>a，∴c＝2， ∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝. (2)(2019·广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为________. 答案　5＋ 解析　因为A＝，a＝， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得7＝b2＋c2－bc； 又△ABC的面积为， 所以bcsin A＝， 所以bc＝6， 所以b＋c＝＝＝5， 所以周长为a＋b＋c＝5＋. 跟踪演练2　(1)(2019·吕梁模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b＝c，若m＝(a2，2b2)，n＝(1，sin A－1)，m·n＝0，则A＝________. 答案　 解析　在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为b＝c，则a2＝2b2－2b2cos A＝2b2(1－cos A)， 又由m·n＝a2＋2b2(sin A－1)＝0， 解得a2＝2b2(1－sin A)， 所以1－sin A＝1－cos A，则tan A＝1， 又0<A<π，所以A＝. (2)(2019·潮州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高为，则＋的最大值是________. 答案　 解析　因为BC边上的高为，所以××a＝bcsin A，即a2＝2bcsin A， 可得＋＝＝＝＝sin A＋cos A＝sin≤， 当A＝时，等号成立， 故＋的最大值是. 热点三