板块一 专题一 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

第3讲　三角恒等变换与解三角形(大题) 热点一　三角形基本量的求解 求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果. 例1　(2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知acos A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝S，其中S为△ABC的面积. (1)求sin C； (2)若a－b＝－，求△ABC的周长. 解　(1)由正弦定理得acos A＝，∴sin 2A＝1， 又0<2A<π，∴2A＝，则A＝. 又a2＋c2－b2＝·acsin B， 由余弦定理可得2accos B＝acsin B，∴tan B＝， 又0<B<π，∴B＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin＝. (2)由正弦定理得＝＝， 又a－b＝－，∴ 又sin C＝，∴c＝·＝， ∴a＋b＋c＝＋＋. 跟踪演练1　(2019·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin＝asin B. (1)求角A的大小； (2)已知b＝3，S△ABC＝3，求a的值. 解　(1)因为bsin＝asin B， 由正弦定理得sin Bsin＝sin Asin B， 因为0<B<π，所以sin B≠0， 所以sin＝sin A， 所以sin A＝sin Acos ＋cos Asin ， 所以tan A＝， 因为0<A<π，所以A＝. (2)因为S△ABC＝bcsin A， 所以3＝×3c×sin ，所以c＝4， 所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋16－2×3×4×cos ＝13， 所以a＝. 热点二　与三角形面积有关的问题 三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值. 例2　(2019·乌鲁木齐质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－b)cos C＋2csin2＝c. (1)求角C的大小； (2)若a＋b＝4，c＝，求△ABC的面积. 解　(1)因为(2a－b)cos C＋2csin2＝c， 所以(2a－b)cos C＋c(1－cos B)＝c， 即(2a－b)cos C＝ccos B， 由正弦定理得2sin Acos C－sin Bcos C＝sin Ccos B， 即 2sin Acos C＝sin(B＋C)＝sin A， 因为A∈(0，π)，故sin A>0，所以cos C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)得，cos C＝＝， 所以＝，整理得ab＝3， 所以S△ABC＝absin C＝×3×＝. 跟踪演练2　(2019·江淮十校联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccos C＋bcos A＋acos B＝0.[来源:学|科|网Z|X|X|K] (1)求角C的大小； (2)若c＝3，A＝，求△ABC的面积. 解　(1)由正弦定理及已知条件2ccos C＋bcos A＋acos B＝0 得，2sin Ccos C＋(sin Bcos A＋cos Bsin A)＝0， 即2sin Ccos C＋sin(B＋A)＝0，2sin Ccos C＋sin C＝0， 又sin C>0，得cos C＝－， 又C∈(0，π)，∴C＝. (2)由(1)知C＝，在△ABC中， 由正弦定理得，＝，∴a＝. 又由三角形的内角和定理得，B＝π－A－C＝，[来源:学。科。网] 即B＝A＝，∴a＝b＝， ∴△ABC的面积S＝absin C＝···＝. 热点三　以平面几何为背景的解三角形问题 解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围. 例3　(2019·深圳调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－. (1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长； (2)若∠CBD＝45°，求CD的长. 解　(1)若对角线AC平分∠BCD，即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD， ∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－， ∵cos∠ACB>0，∴cos∠ACB＝， ∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝， ∴由余弦定理AB