板块一 专题二 第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题)（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

第2讲　数列求和及数列的简单应用(大题) 热点一　等差、等比数列基本量的计算 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略. 例1　(2019·六安市第一中学模拟)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝Sn＋Sn－1 (n≥2)，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若{bn}是递增数列，求实数a的取值范围. 解　(1)a＝Sn＋Sn－1(n≥2)， a＝Sn－1＋Sn－2(n≥3). 相减可得a－a＝an＋an－1， ∵an>0，an－1>0， ∴an－an－1＝1(n≥3). 当n＝2时，a＝a1＋a2＋a1， ∴a＝2＋a2，a2>0， ∴a2＝2. 因此n＝2时，an－an－1＝1成立. ∴数列{an}是等差数列，公差为1. ∴an＝1＋n－1＝n. (2)bn＝(1－an)2－a(1－an)＝(n－1)2＋a(n－1)， ∵{bn}是递增数列， ∴bn＋1－bn＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1>0， 即a>1－2n恒成立， ∴a>－1. ∴实数a的取值范围是(－1，＋∞). 跟踪演练1　(2019·乐山调研)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1，a4，a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a1＝5－d，a4＝5＋2d，a13＝5＋11d， 因为a1，a4，a13成等比数列， 所以(5＋2d)2＝(5－d)(5＋11d)， 化简得d2＝2d，则d＝0或d＝2， 当d＝0时，an＝5. 当d＝2时，a1＝5－d＝3，[来源:Z,xx,k.Com] an＝3＋(n－1)×2 ＝2n＋1(n∈N*). 所以，当d＝0时，an＝5(n∈N*)； 当d＝2时，an＝2n＋1(n∈N*). (2)由(1)知，当an＝5时，Sn＝5n. 当an＝2n＋1时，a1＝3，则Sn＝＝n2＋2n(n∈N*). 热点二　数列的证明问题 判断数列是否为等差或等比数列的策略： (1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可. 例2　已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项. (1)求证：数列{S}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. (1)证明　由题意知2Sn＝an＋，即2Snan－a＝1，① 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，代入①式得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1， 整理得S－S＝1(n≥2). 又当n＝1时，由①式可得a1＝S1＝1(负值舍去)， ∴数列{S}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解　由(1)可得S＝1＋n－1＝n， ∵数列{an}的各项都为正数，∴Sn＝， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 又a1＝S1＝1满足上式， ∴an＝－(n∈N*). (3)解　由(2)得bn＝＝＝(－1)n(＋)， 当n为奇数时， Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－； 当n为偶数时，[来源:Z,xx,k.Com] Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝(－1)n(n∈N*). 跟踪演练2　已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. (1)证明　原式可转化为 Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)， 即Sn＝2Sn－1－n＋4， 所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]. 由S1－2a1＝1－4，得S1＝3，所以S1－1＋2＝4， 所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. (2)解　由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1， 所以Sn＝2n＋1＋n－2， 所以Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n ＝＋－2n＝. 热点三　数列的求和问题 1.裂项相消法就是把数列的每一项分解成一正一负的两项，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有： ＝－；＝；＝；＝. 2.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，