板块一 专题三 第1讲 空间几何体、空间中的位置关系(小题)（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

第1讲　空间几何体、空间中的位置关系(小题) 热点一　表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 例1　(1)(2019·武汉调研)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD中点，则四面体A－BC1M的体积为(　　) A. B.　C. D. 答案　C 解析　∵M为CD中点，∴S△AMB＝S▱ABCD＝， 又CC1⊥平面ABCD，∴＝S△ABM·CC1＝. (2)(2019·大连模拟)已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为(　　) A.27π B.9π C.9π D.3π 答案　B 解析　由题意可知，底面半径r＝6sin 30°＝3， 圆锥的高h＝6cos 30°＝3， ∴圆锥体积V＝πr2·h＝9π. 跟踪演练1　(1)如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________. 答案　1∶ 解析　设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1—AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶. (2)(2019·泰安模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P－BDD1B1的体积为________. 答案　 解析　连接AC交BD于O点(图略)， 则有AO⊥平面BDD1B1， 所以AO就是点P到平面BDD1B1的距离，即高h＝AO＝， 又矩形BDD1B1的面积为S＝， 所以四棱锥P－BDD1B1的体积为V＝××＝. 热点二　多面体与球 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图. 例2　(1)(2019·威海模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O－ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________. 答案　16π 解析　如图，在Rt△ABC中， 设AB＝c，BC＝a，则AC＝. 分别取A1C1，AC的中点O1，O2， 则O1，O2分别为Rt△A1B1C1和Rt△ABC外接圆的圆心， 连接O1O2，取O1O2的中点O， 则O为三棱柱外接球的球心. 连接OA，则OA为外接球的半径，设半径为R. ∵三棱锥O－ABC的体积为1， 即VO－ABC＝××1＝1，[来源:学,科,网] ∴ac＝6. 在Rt△OO2A中， 可得R2＝2＋2＝2＋1＝＋1， ∴S球表＝4πR2＝4π≥4π＝16π， 当且仅当a＝c时等号成立， ∴O球表面积的最小值为16π. (2)(2019·济宁模拟)已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在体积为36π的球的球面上，其中PA⊥平面ABC，底面ABC为正三角形，则三棱锥P－ABC体积的最大值为________. 答案　9 解析　由球的体积公式可得πR3＝36π⇒R＝3， 不妨设底面正三角形的边长为2a， 则S△ABC＝·2a·2a·sin 60°＝a2， 设棱锥的高为h， 由三棱锥的性质可得R2＝2＋2＝9， 解得h2＝36－a2，据此可得V＝Sh2 ＝·3a4·＝··· ≤·3＝×64＝81. 故V≤81，VP－ABC≤9， 当且仅当＝12－a2，a2＝时等号成立. 综上可得，三棱锥P－ABC体积的最大值为9. 跟踪演练2　(1)(2019·榆林模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知底面ABC为正三角形，AA1⊥平面ABC，AB＝6，AA1＝16，则该三棱柱外接球的表面积为(　　) A.400π B.300π C.200π D.100π 答案　A 解析　如图，O′为底面中心，O为外接球球心，在正三角形ABC中求得O′A＝6， 又OO′＝8，∴外接球半径OA＝10， ∴S球＝4π×100＝400π. (2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图， 由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，