板块一 专题三 第2讲 立体几何(大题)（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

第2讲　立体几何(大题) 热点一　平行、垂直关系的证明 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 例1　如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明　方法一　(1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M ，O. ＝，＝(－1，0，0)， ∴·＝0，∴⊥. ∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱， ∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量， 且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2). ∵＝(1，－1，1)，＝，＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)， 由得 令x1＝1，则n1＝. 同理可得n2＝(0，1，1). ∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD. 方法二　(1)＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋ ＝－－＋＝－(＋)－＋＝－－. ∴向量与向量，共面， 又BF，BC⊂平面BCF，OM⊄平面BCF， ∴OM∥平面BCF. (2)由题意及(1)知，BF，BC，BA两两垂直， ∵＝，＝－， ∴·＝·＝0， ·＝·(－)＝－2＋2＝0，[来源:学科网ZXXK] ∴⊥，⊥， 即OM⊥CD，OM⊥FC， 又CD∩FC＝C，CD，FC⊂平面EFCD， ∴OM⊥平面EFCD. 又OM⊂平面MDF， ∴平面MDF⊥平面EFCD. 跟踪演练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB的中点. (1)求证：AM∥平面PCD； (2)求证：平面ACM⊥平面PAB. 证明　(1)如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系C－xyz， 则A(1，1，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，D(1，0，0)，P(1，1，a)(a>0)，M ，＝(1，1，a)，＝(1，0，0)，＝， 设平面PCD的法向量为n1＝(x0，y0，z0)， 则 即 令y0＝a，则n1＝(0，a，－1)，[来源:学.科.网] 所以·n1＝－＝0， 又AM⊄平面PCD， 所以AM∥平面PCD. (2)由(1)得，＝(1，1，0)，＝， 设平面ACM的法向量为n2＝(x1，y1，z1)， 则 即 令x1＝1，则n2＝，＝(0，0，a)，＝(－1，1，0)， 设平面PAB的法向量为n3＝(x2，y2，z2)， 则即 令x2＝1，则n3＝(1，1，0)， 所以n2·n3＝1－1＝0. 所以平面ACM⊥平面PAB. 热点二　利用空间向量求空间角 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ， 则cos θ＝＝. (2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ， 则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|. (3)二面角 设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|. 例2　正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，E，F分别是D1B，AD的中点，cos〈，〉＝. (1)以D为坐标原点，建立适当的坐标系，求出E点的坐标； (2)证明：EF是异面直线D1B与AD的公垂线； (3)求二面角D1－BF－C的余弦值. (1)解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0). 设D1(0，0，2m)(m>0)， 则E(1，1，m). ∵＝(1，－1，m)，＝(0，0，2m)， ∴cos〈，〉＝＝＝， 解得m＝1，故E点坐标为(1,1,1). (2)证明　由(1)可知，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体. 又∵FD＝1，∴F(1，0，0)， ∴＝(－2，－2，2)，＝(0，－1，－1)，＝(－2，0，0)， ∴·＝0＋2－2＝0，·＝0＋0＋0＝0， ∴⊥，⊥， 又∵E∈D1B，F∈AD， ∴EF是AD与D1B的公垂线. (3)解　设平面FD1B的法向量为