板块一 专题三 规范答题示例3 立体几何与空间向量（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

典例3　(12分)(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值. 审题路线图 1∠BAP＝∠CDP＝90°AB⊥平面PAD平面PAB⊥平面PAD 2建立空间直角坐标系→写出A，B，C，P的坐标→计算，，，→分别计算平面PCB与平面PAB的法向量→计算两个法向量的夹角的余弦值→求得二面角的余弦值 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，[来源:Z+xx+k.Com] 又PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD.…………………………………………………2分 又AB⊂平面PAB，…………………………………………………3分 所以平面PAB⊥平面PAD.…………………………………………4分 (2)解　在平面PAD内作PF⊥AD， 垂足为点F，由(1)知，AB⊥平面PAD， 故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD. 以F为坐标原点，的方向为x轴正方向， ||为单位长度，建立空间直角坐标系F－xyz.……………………6分 由(1)及已知可得A，P，B，C. 所以＝，＝(，0，0)， ＝，＝(0，1，0).……………………………7分 设n＝(x，y，z)是平面PCB的法向量， 则即 可取n＝(0，－1，－).……………………………………………8分 设m＝(x′，y′，z′)是平面PAB的法向量， 则即 可取m＝(1，0，1).…………………………………………………9分 则cos〈n，m〉＝＝－，…………………………………11分 由图知二面角A－PB－C为钝二面角， 所以二面角A－PB－C的余弦值为－.…………………………12分 第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的两条直线，寻求与它们有垂直关系的直线，由线面垂直得出面面垂直. 第二步[来源:学科网ZXXK] 写坐标：选择恰当的坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点坐标. 第三步 求向量：求两个平面的法向量. 第四步 求夹角：运用夹角的余弦公式代入数值，计算向量的夹角. 第五步 得结论：得到要求两个平面所成的角. [来源:Z。xx。k.Com] 评分细则　第(1)问：证得AB⊥平面PAD得2分，直接写出不得分；写出AB⊂平面PAB得1分，此步没有扣1分；写出结论平面PAB⊥平面PAD得1分. 第(2)问：正确建立空间直角坐标系得2分；写出相应的坐标及向量得1分(酌情)；正确求出平面PCB的法向量得1分；正确求出平面PAB的法向量得1分；写出公式cos〈n，m〉＝得1分，正确求出值再得1分；写出正确结果得1分. 跟踪演练3　(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；[来源:学#科#网][来源:Z§xx§k.Com] (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. (1)证明　由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF， PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF， 所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD， 所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)解　如图，作PH⊥EF，垂足为H. 由(1)得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz. 由(1)可得，DE⊥PE. 又DP＝2，DE＝1，所以PE＝. 又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF. 所以PH＝，EH＝. 则H(0，0，0)，P，D，＝，＝. 又为平面ABFD的法向量， 设DP与平面ABFD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. $$ 立体几何与空间向量 板块一　专题三　规范答题示例3 典例3　(12分)(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值. 审题路线图 规范解答·分步得分 (1)证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD， 又PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD.……………………………………………………………………2分 又AB⊂平面PAB，……………………………………………………………………3分 所以平面PAB⊥平面PAD.………………………