板块一 专题四 规范答题示例4 概率与统计（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

典例4　(12分)(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8. (ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； (ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 审题路线图 1确定x的取值情况→求概率→写分布列 2确定系数a，b，c→构造并证明等比数列求p4→说明试验方案的合理性[来源:学,科,网] 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)解　X的所有可能取值为－1，0，1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β).…………………………………………………3分 所以X的分布列为 X －1 0 1 P (1－α)β αβ+(1－α)(1－β) α(1－β) ……………………………………………………………………4分 (2)(ⅰ)证明　由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.…………………5分 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).…………………………………………6分 又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列.………………………………………7分 (ⅱ)解　由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1. 由于p8＝1，故p1＝，……………………………………10分 所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝p1＝.…………………………………………………11分 p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.…………………………………………12分 [来源:学科网ZXXK] 第一步 定元：确定随机变量的意义和取值. 第二步 定性：确定概率模型并计算随机变量取每一个值的概率. 第三步 列表：写出随机变量的分布列.[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网] 第四步[来源:学科网] 求解：利用随机变量的分布列，等比数列累加法并结合题目条件求解. 评分细则　第(1)问：三个概率写正确给3分；分布列写正确再给1分. 第(2)问：(ⅰ)a，b，c三个值正确给1分；写出推导公式给1分，判断首项给1分. (ⅱ)利用等比数列累加列方程给3分；求出p4，写出结论给1分. 跟踪演练4　(2018·全国Ⅱ改编)下图是某地区2002年至2018年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图. 为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2002年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 解　(1)利用模型①，可得该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元). 利用模型②，可得该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： (ⅰ)从折