板块一 专题五 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)（课件+word）-2020高考数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(京津鲁琼)

第3讲　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题) 热点一　最值问题 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键： (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 例1　(2019·邯郸模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上的一个动点，且|PF2|的最大值为2＋，E的离心率与椭圆Ω：＋＝1的离心率相等. (1)求E的方程； (2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值. 解　(1)依题意可知 解得 则b2＝a2－c2＝1，故E的方程为＋y2＝1. (2)延长MF1交E于点M′， 由(1)可知F1(－，0)，F2(，0)， 设M(x1，y1)，M′(x2，y2)， 设MF1的方程为x＝my－， 由得(m2＋4)y2－2my－1＝0， 故 设F1M与F2N的距离为d， 四边形F1F2NM的面积为S， 则S＝(|F1M|＋|F2N|)d＝(|F1M′|＋|F1M|)d＝|MM′|d＝， 而＝|F1F2||y1－y2|＝ ＝＝≤＝2， 当且仅当＝， 即m＝±时，等号成立， 故四边形F1F2NM面积的最大值为2. 跟踪演练1　(2019·焦作模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，点A，B(1，2). (1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率； (2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值. 解　(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 故＋y＝1，＋y＝1. 将两式相减，可得＋y－＝0， 即＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 因为A为线段MN的中点， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1. 得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0， 即＝－1，故直线MN的斜率kMN＝－1. (2)联立可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0， 由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0，解得0<t2<9. 设P(x3，y3)，Q(x4，y4) 由根与系数的关系可得 ∴|PQ|＝＝×＝×. 又∵点B到直线l2的距离d＝＝， ∴S△BPQ＝×|PQ|×d＝×××， ∵9－t2>0， ∴S△BPQ＝××|t|＝×≤×＝， 当且仅当t2＝，即t＝±时取等号. 故△BPQ的面积的最大值为. 热点二　范围问题 圆锥曲线的范围问题的常见解法： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围. 例2　(2019·郑州质检)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，若△MF1F2的周长为4＋2，且面积的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B是椭圆C上两动点，线段AB的中点为P，OA，OB的斜率分别为k1，k2(O为坐标原点)，且k1k2＝－，求|OP|的取值范围. 解　(1)由题知，△MF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2，且·2c·b＝， ∴a＝2，b＝1，c＝， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线AB的斜率k＝0时， 此时k1，k2(O为坐标原点)， 满足k1k2＝－，k1＝－k2＝－. 可令OB的方程为y＝x(xB>0)， 由可得B， 此时|OP|＝， 当直线AB的斜率k≠0时， 可令AB的方程为x＝my＋t， 由 可得(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0， Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)>0⇒m2－t2＋4>0，① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝. ∴P.[来源:Zxxk.Com] ∵k1k2＝－， ∴＝－， 即4y1y2＋x1x2＝0， ∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0， ∴t2－4＋＋t2＝0， ∴2t2＝m2＋4，则t2≥2，② 由①②可得t2≥2恒成立， |OP|2＝＝＝＝＝＋∈， |OP|∈. 综上，|OP|的取值范围为. 跟踪演练2　(2019·西安质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0). (1)求椭圆C的方程； (2)求y0的取值范围. 解　(1)由题意，可得2b＝2，＝， 又a2＝b2＋c2， 联立解得b＝，a＝2，c＝1. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)当斜率存在时， 设直线MN的方程为y＝k(