2021版数学（文科）攻略大一轮复习课标版（课件+2020新题考点集训）：专题五　平面向量 (共4份打包)

考点一    平面向量的线性运算及其几何意义 考点清单 考向基础 1.向量的有关概念及表示法 2.向量的线性运算 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实数λ,使得b=λa成立. 【知识拓展】 1.若 + =2 ,则D为线段BC的中点,反之也成立. 2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条件 是 =α +β ,且α+β=1,α,β∈R. 考向突破 考向一　平面向量的线性运算 例1    (2020届河南顶级名校摸底,5)在如图所示的△ABC中,点D,E分别在 BC,AD上,且BD=DC,ED=2AE,则向量 = (　　)   A.  +  　    B.  +   C.  +  　    D.  +   解析　∵ = + , = + ,又∵BD=DC,∴ =- ,∴ = ( +  ),又∵ED=2AE,∴ =  ,∴ =  =  +  ,故选B. 答案    B 考向二　向量共线定理的应用 例2    (2020届湖南永州9月摸底,6)如图,在△ABC中, =  ,P是BN上一 点,若 =m +  ,则实数m的值为(　　)   A. 　    B. 　    C. 　    D.  解析　由题意可得 =5 ,则 =m + ×5 =m +  ,因为B,N,P 三点共线,所以m+ =1,即m= ,故选D. 答案    D 考点二    平面向量基本定理及向量的坐标运算 考向基础 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 温馨提示　(1)零向量和共线向量不能作基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 2.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0. 向量 a b a+b a-b λa 坐标 (x1,y1) (x2,y2) (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) 考向突破 考向一　平面向量基本定理的应用 例3    (2019山东烟台调研,14)在△ABC中,点M,N满足 =2 , = ,若  =x +y ,则x+y=　　　    . 解析     = + =  +  =  + ( - )=  -  , 又 =x +y ,所以x= ,y=- , 故x+y= - = . 答案      考向二　平面向量共线的坐标表示及运算 例4    (2019云南师范大学附属中学,贵阳一中,南宁三中高三联考,8)若a=(k, 1),b=(3,2),且a,b共线,则(a-b)·(2a+b)= (　　) A.-13　    B.0　    C.-12　    D.-5 解析　∵a,b共线,∴3=2k,∴k= ,∴a= , 又b=(3,2),则a-b= ,2a+b=(6,4), ∴(a-b)·(2a+b)=-9+(-4)=-13,故选A. 答案    A 方法1　向量共线问题的求解方法 1.两非零向量共线是指存在实数λ使两向量可以互相表示. 2.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能 表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线 的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. 4.A、B、C三点共线⇔ =λ +μ 且λ+μ=1.特别地,当λ=μ= 时,C为线 段AB的中点. 5.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 方法技巧 例1    (2018课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+ b),则λ=　　　    . 解析　由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ= . 答案      例2　如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点M、N,若 =m , =n ,则m+n的值为　　         .   解析　解法一:连接AO,由于O为BC的中点